Какие трехзначные шестнадцатиричные числа можно получить, если уменьшить их в 2 раза путем перестановки последней цифры

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Перечислим все трехзначные шестнадцатиричные числа.
Трехзначные шестнадцатиричные числа можно составить, используя цифры от 0 до 9 и буквы A до F. Итак, все трехзначные шестнадцатиричные числа выглядят следующим образом: 100, 101, 102, ..., 9FF, A00, A01, ..., AFF, B00, B01, ..., BFF, ..., FFE, FFF.

Шаг 2: Найдем все числа, которые можно получить, уменьшив их в 2 раза путем перестановки последней цифры в начало числа.
Для этого нам нужно найти все числа, у которых последняя цифра равна половине первой цифры. Посмотрим на пример:
- Число ABC, где A, B и C - это цифры или буквы. Если мы переставим последнюю цифру C в начало числа, получим число CAB. Чтобы узнать, можно ли получить число ABC, уменьшив его в 2 раза, проверим, равна ли последняя цифра (C) половине первой цифры (A/2). Если равенство выполняется, значит, мы можем получить число ABC, иначе нет.
- Давайте пройдемся по всем числам, запишем все числа, которые можно получить, и соответствующие им исходные числа, перед перестановкой последней цифры.

ABC (перестановка) -> Число, получаемое усреднением -> Исходное число
100 -> 010 -> 16
200 -> 002 -> 32
300 -> 003 -> 48
...
900 -> 009 -> 144
A00 -> 00A -> 160
B00 -> 00B -> 176
...
F00 -> 00F -> 240

Шаг 3: Просуммируем все числа, полученные в результате перестановки последней цифры.
Сумма всех таких чисел в десятичной системе счисления будет: 16 + 32 + 48 + ... + 240. Для удобства вычислений воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
\[ S = \frac{{a_1 + a_n}}{2} \cdot n \]
где \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( a_n \) - последний член прогрессии, \( n \) - количество членов прогрессии.

У нас есть арифметическая прогрессия с первым членом 16, последним членом 240 и количеством членов 15 (так как мы проходим по каждому из шестнадцатиричных чисел от 100 до F00). Подставим значения в формулу:
\[ S = \frac{{16 + 240}}{2} \cdot 15 = 128 \cdot 15 = 1920 \]

Таким образом, сумма всех трехзначных шестнадцатиричных чисел, которые можно получить, уменьшив их в 2 раза путем перестановки последней цифры в начало числа, равна 1920 в десятичной системе счисления.