Какие трехзначные шестнадцатеричные числа подвергаются уменьшению в 2 раза при перестановке последней цифры в начало

Для решения данной задачи, давайте разложим трехзначные шестнадцатеричные числа на составляющие: первую цифру, вторую цифру и третью цифру.

Представим число в виде \(ABC\), где \(A\), \(B\) и \(C\) обозначают шестнадцатеричные цифры в разряде сотен, десятков и единиц соответственно.

Если мы переставим последнюю цифру \(C\) в начало числа, получим новое число \(CAB\).

Условие задачи говорит, что это новое число будет уменьшено в 2 раза относительно исходного числа. Поэтому, можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{{CAB}}{{2}} = ABC
\]

Для удобства рассмотрим подобные разряды чисел в полной записи:

\[
\frac{{(C \cdot 16^2 + A \cdot 16 + B)}}{2} = (A \cdot 16^2 + B \cdot 16 + C)
\]

Приравняем их и продолжим решение:

\[
C \cdot 16^2 + A \cdot 16 + B = 2 \cdot (A \cdot 16^2 + B \cdot 16 + C)
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
C \cdot 16^2 + A \cdot 16 + B = 2A \cdot 16^2 + 2B \cdot 16 + 2C
\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[
0 = 2A \cdot 16^2 - C \cdot 16^2 + 2B \cdot 16 - A \cdot 16 + 2C - B
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
0 = (2A - C) \cdot 16^2 + (2B - A) \cdot 16 + (2C - B)
\]

Из этого уравнения видно, что сумма коэффициентов при \(16^2\), \(16\) и единице равна нулю. У нас нет возможности использовать отрицательные значения для шестнадцатеричных цифр, поэтому выходит, что коэффициенты должны быть равны нулю:

\[
\begin{align*}
2A - C &= 0 \\
2B - A &= 0 \\
2C - B &= 0
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения получаем:

\[2A = C\]

Значит \(C\) должно быть четным числом. Рассмотрим значения \(C\): 0, 2, 4, 6, 8, A, C, E.

Подставим значения \(C\) в каждое уравнение, чтобы найти значения \(A\) и \(B\):

При \(C = 0\): \(A = 0\), \(B = 0\)
При \(C = 2\): \(A = 1\), \(B = 2\)
При \(C = 4\): \(A = 2\), \(B = 1\)
При \(C = 6\): \(A = 3\), \(B = 0\)
При \(C = 8\): \(A = 4\), \(B = 2\)
При \(C = A\): нет целочисленного решения
При \(C = C\): нет целочисленного решения
При \(C = E\): нет целочисленного решения

Таким образом, получаем следующие трехзначные шестнадцатеричные числа: 002, 112, 214, 306 и 428.

Сложим их и запишем сумму в десятичной системе счисления:

\[002_{16} + 112_{16} + 214_{16} + 306_{16} + 428_{16} = 1344_{10}\]

Ответ: Сумма данных трехзначных шестнадцатеричных чисел, уменьшающихся в 2 раза при перестановке последней цифры в начало числа, равна 1344 в десятичной системе счисления.