Какие шаги нужно предпринять, чтобы создать чертеж и написать уравнение для линий, где каждая точка находится

Чтобы создать чертеж и написать уравнение для линий, где каждая точка находится на одинаковом расстоянии от точки \(a(6; 4)\) и от прямой, мы можем использовать геометрический подход и методы алгебры для решения этой задачи. Вот подробные шаги:

1. Нарисуйте координатную плоскость и отметьте точку \(a(6; 4)\).

2. Нарисуйте произвольную прямую на плоскости. Обозначим ее уравнение как \(y = mx + c\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(c\) - свободный член.

3. Теперь мы хотим, чтобы каждая точка на этой прямой находилась на одинаковом расстоянии от точки \(a\) и от прямой. Расстояние от точки до прямой можно вычислить с помощью формулы расстояния между точкой и прямой:
\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]
где \((x, y)\) - координаты точки на прямой, \(A, B, C\) - коэффициенты уравнения прямой.

4. Поскольку мы хотим, чтобы расстояние от точки \(a\) до прямой и от точки до прямой были одинаковыми, запишем уравнение для расстояния между точкой \(a\) и прямой:
\[d_1 = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]
\[d_2 = \frac{{|Aa_x + Ba_y + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]
где \((a_x, a_y)\) - координаты точки \(a\), \(d_1\) - расстояние от точки до прямой, \(d_2\) - расстояние от точки \(a\) до прямой.

5. Подставим известные значения координат точки \(a\) в уравнение расстояния для точки \(a\):
\[d_2 = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]
\[d_2 = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

6. Теперь, чтобы каждая точка на прямой находилась на одинаковом расстоянии от точки \(a\) и от прямой, установим условие \(d_1 = d_2\):
\[\frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}} = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

7. Это уравнение означает, что числительы дробей должны быть равными, поэтому можно упростить уравнение, убрав модули:
\[Ax + By + C = Ax + By + C\]

8. Как видно, левая и правая части уравнения совпадают, поэтому это уравнение верно для любой точки \((x, y)\) на прямой.

Таким образом, чтобы создать чертеж и написать уравнение для линий, где каждая точка находится на одинаковом расстоянии от точки \(a(6; 4)\) и от прямой, достаточно нарисовать произвольную прямую и запишите ее уравнение.