Какие размеры квадратов нужно вырезать из прямоугольного листа картона размерами 80×5=40дм², чтобы после загибания

Чтобы найти размеры квадратов, которые нужно вырезать из прямоугольного листа картона для создания коробки максимальной вместимости, мы должны рассмотреть следующие шаги:

1. Найдем периметр прямоугольника. Периметр вычисляется по формуле:

\[
P = 2a + 2b
\]

где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.

В данном случае, длины сторон прямоугольника составляют 8 и 5 дм соответственно. Подставим эти значения в формулу:

\[
P = 2 \times 8 + 2 \times 5 = 16 + 10 = 26 \, \text{дм}
\]

2. Длина загибаемой кромки будет равна стороне квадрата, который мы вырезаем из листа картона.

Пусть \(x\) - длина стороны квадрата. Так как мы должны вырезать четыре квадрата, длина загибаемой кромки равна \(4x\).

3. Найдем площадь боковой поверхности коробки. Она вычисляется с помощью формулы:

\[
S = xl
\]

где \(l\) - периметр основания, то есть длина загибаемой кромки.

В нашем случае, площадь боковой поверхности равна \(40 - 4x\) (исходная площадь минус площадь загибаемой кромки).

4. Нашей целью является максимизация объема коробки. Объем коробки вычисляется по формуле:

\[
V = x^2h
\]

где \(h\) - высота коробки.

Мы предполагаем, что высота коробки будет равна \(x\) (так как все стороны квадрата одинаковы). Для максимизации объема, нам нужно найти максимальное значение площади боковой поверхности \(S\), исходя из данных условий.

Теперь, чтобы найти размеры квадратов, мы можем составить уравнение, используя вышеперечисленные шаги:

\[
S = 40 - 4x
\]

\[
V = x^2 \cdot x = x^3
\]

Мы хотим найти значениe \(x\), при котором \(S\) будет максимальным. Для этого мы можем найти значение \(x\), при котором производная функции \(S\) равна нулю.

\[
\frac{dS}{dx} = 0
\]

Дифференцируем \(S\) по \(x\):

\[
\frac{dS}{dx} = -4
\]

Теперь решим уравнение:

\[
-4 = 0
\]

Получаем, что производная равна нулю при \(x = 0\). Но это не является решением задачи, так как квадрат со стороной нуль невозможно вырезать.

Таким образом, мы понимаем, что \(S\) будет максимальным при краевом значении \(x\).

5. Найдем крайние значения для \(x\).

У нас есть следующие ограничения:
- \(0 < x < 5\) (длина одной стороны квадрата не должна превышать длины прямоугольника)
- \(0 < 4x < 26\) (суммарная длина всех загибаемых кромок не должна превышать периметр прямоугольника)

Поэтому, наше оптимальное значение \(x\) будет лежать в интервале \(0 < x < \frac{26}{4}\).

Подставим значения в уравнение:

\[
S = 40 - 4x
\]

\[
S = 40 - 4 \cdot \frac{26}{4}
\]

\[
S = 40 - 26 = 14 \, \text{дм}^2
\]

Таким образом, максимальная площадь боковой поверхности коробки будет равна 14 дм², когда размеры квадратов равны \(x = \frac{26}{4} = 6.5\) см.

Надеюсь, эта пошаговая информация поможет вам понять, каким образом был получен ответ и каким образом можно решить задачу. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.