Какие размеры должны быть у сторон прямоугольника, чтобы его периметр составлял 84 см и он имел наибольшую площадь?

Чтобы найти размеры прямоугольника, которые обеспечивают наибольшую площадь при заданном периметре, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте проведем необходимые шаги для решения этой задачи.

Пусть длина прямоугольника будет \(x\) см, а ширина - \(y\) см.

Мы знаем, что периметр прямоугольника составляет 84 см, поэтому можем составить уравнение для периметра:

\[P = 2x + 2y = 84 \]

Чтобы найти значение y в зависимости от x, выразим y через x из уравнения периметра:

\[y = \frac{{84 - 2x}}{2} = 42 - x \]

Теперь у нас есть выражение для ширины (y) в зависимости от длины (x). Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины, поэтому можем написать уравнение площади:

\[S = x \cdot y = x(42 - x) \]

Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно найти максимум функции площади \(S(x)\). Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю:

\[\frac{{dS}}{{dx}} = 0 \]

Давайте найдем производную функции площади:

\[\frac{{dS}}{{dx}} = 42 - 2x \]

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значение x:

\[42 - 2x = 0 \]

\[2x = 42 \]

\[x = \frac{{42}}{{2}} = 21 \]

Таким образом, мы нашли значение x, при котором производная функции площади равна нулю. Чтобы найти соответствующее значение y, подставим найденное значение x в уравнение, которое мы ранее получили для ширины:

\[y = 42 - x = 42 - 21 = 21 \]

Таким образом, размеры прямоугольника, при которых его площадь наибольшая при заданном периметре 84 см, равны 21 см и 21 см. Ответ: длина и ширина прямоугольника должны быть равны 21 см каждая.