Какие размеры должен иметь открытый цилиндрический бак с объемом 5,832π, чтобы использовать минимальное количество

Чтобы определить размеры открытого цилиндрического бака с минимальным количеством материала, мы должны использовать информацию о его объеме. Обозначим радиус основания бака как \( r \), а высоту бака как \( h \).

Объем цилиндра определяется формулой:
\[ V = \pi r^2 h \]

Мы знаем, что объем бака должен быть равен 5.832π, поэтому можно записать уравнение:
\[ 5.832\pi = \pi r^2 h \]

Чтобы использовать минимальное количество материала, мы должны минимизировать поверхность бака. Поверхность цилиндра определяется формулой:
\[ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \]

Теперь мы можем использовать метод множителей Лагранжа для поиска минимума функции \( S \) при ограничении \( V = 5.832\pi \).

Создадим функцию Лагранжа:
\[ L(r,h, \lambda) = 2\pi r^2 + 2\pi r h + \lambda(\pi r^2 h - 5.832\pi) \]

Для нахождения экстремумов функции \( L \) найдем ее частные производные по \( r \), \( h \) и \( \lambda \) и приравняем их к нулю:

\[
\frac{{\partial L}}{{\partial r}} = 4\pi r + 2\pi h + 2\lambda \pi r h = 0 \quad (1)
\]
\[
\frac{{\partial L}}{{\partial h}} = 2\pi r + \lambda \pi r^2 = 0 \quad (2)
\]
\[
\frac{{\partial L}}{{\partial \lambda}} = \pi r^2 h - 5.832\pi = 0 \quad (3)
\]

Из уравнений (2) и (3) можно получить значение \( h \) через \( r \):
\[
\pi r^2 h - 5.832\pi = 0 \implies h = \frac{{5.832}}{{r^2}}
\]

Подставим значение \( h \) в уравнение (1):
\[
4\pi r + 2\pi \left(\frac{{5.832}}{{r^2}}\right) + 2\lambda \pi r \left(\frac{{5.832}}{{r^2}}\right) = 0
\]

Упростим это уравнение:
\[
4\pi r + \frac{{11.664\lambda}}{{r}} = 0
\]

Домножим все на \( r \):
\[
4\pi r^2 + 11.664\lambda = 0
\]

Теперь мы можем найти значение \( \lambda \):
\[
\lambda = -\frac{{4\pi r^2}}{{11.664}}
\]

Подставим значение \( \lambda \) обратно в уравнение (2):
\[
2\pi r + \left(-\frac{{4\pi r^2}}{{11.664}}\right) \pi r^2 = 0
\]

Вынесем общий множитель \( 2\pi r \):
\[
r + \left(-\frac{{2r^2}}{{11.664}}\right) r^2 = 0
\]

Упростим это уравнение:
\[
r - \frac{{2r^3}}{{11.664}} = 0
\]

Факторизуем:
\[
r\left(1 - \frac{{2r^2}}{{11.664}}\right) = 0
\]

Решение данного уравнения может быть \( r = 0 \) или \( 1 - \frac{{2r^2}}{{11.664}} = 0 \). Очевидно, что \( r \) не может быть равным нулю, так как это будет не иметь смысла в задаче. Решим уравнение для \( r \):
\[
1 - \frac{{2r^2}}{{11.664}} = 0
\]

Упростим его:
\[
r^2 = \frac{{11.664}}{{2}} \implies r = \sqrt{\frac{{11.664}}{{2}}}
\]

Теперь, когда мы знаем радиус \( r \), мы можем найти высоту \( h \):
\[
h = \frac{{5.832}}{{r^2}} = \frac{{5.832}}{{\left(\sqrt{\frac{{11.664}}{{2}}}\right)^2}}
\]

Подсчитаем значения \( r \) и \( h \) для получения итогового ответа.