Какие натуральные числа имеют два наибольших собственных делителя, сумма

Question

Алгебра: Какие натуральные числа имеют два наибольших собственных делителя, сумма которых равна 2019?

Скрытый_Тигр_6062 · Accepted Answer

Чтобы найти натуральные числа с двумя наибольшими собственными делителями, сумма которых равна 2019, нужно рассмотреть все возможные пары натуральных чисел и проверить, выполняется ли условие суммы их наибольших собственных делителей. Давайте начнем:

Пусть первое число, имеющее наибольший собственный делитель

a

, и второе число, имеющее наибольший собственный делитель

b

. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

a + b = 2019

Заметим, что наибольший собственный делитель любого числа не может быть больше, чем само число. Поэтому для наибольшего собственного делителя числа

a

выполняется неравенство:

a \leq \frac{a + b}{2}

Аналогично, для числа

b

выполняется неравенство:

b \leq \frac{a + b}{2}

Соединим все полученные неравенства и решим их:

a \leq \frac{a + b}{2} и b \leq \frac{a + b}{2}

Умножим оба неравенства на 2, чтобы избавиться от дробей:

2 a \leq a + b и 2 b \leq a + b

Сложим оба неравенства и получим:

2 a + 2 b \leq 2 (a + b)

2 (a + b) \geq a + b

2 \geq 1

Таким образом, неравенства выполняются для любых натуральных чисел

a

и

b

. Значит, можно выбрать любые два натуральных числа, сумма которых равна 2019, и у них обязательно будет два наибольших собственных делителя. Например, можно выбрать

a = 1009

и

b = 1010

, так как

1009 + 1010 = 2019

.

Таким образом, данная задача имеет бесконечное количество решений, и любая пара натуральных чисел, сумма которых равна 2019, будет удовлетворять условию задачи.

Какие натуральные числа имеют два наибольших собственных делителя, сумма которых равна 2019?

Скрытый_Тигр_6062

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!