Какие натуральные числа имеют два наибольших собственных делителя, сумма которых равна 2019?

Чтобы найти натуральные числа с двумя наибольшими собственными делителями, сумма которых равна 2019, нужно рассмотреть все возможные пары натуральных чисел и проверить, выполняется ли условие суммы их наибольших собственных делителей. Давайте начнем:

Пусть первое число, имеющее наибольший собственный делитель \(a\), и второе число, имеющее наибольший собственный делитель \(b\). Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:
\[a + b = 2019\]

Заметим, что наибольший собственный делитель любого числа не может быть больше, чем само число. Поэтому для наибольшего собственного делителя числа \(a\) выполняется неравенство:
\[a \leq \frac{a+b}{2}\]
Аналогично, для числа \(b\) выполняется неравенство:
\[b \leq \frac{a+b}{2}\]

Соединим все полученные неравенства и решим их:
\[a \leq \frac{a+b}{2} \quad \text{и} \quad b \leq \frac{a+b}{2}\]
Умножим оба неравенства на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[2a \leq a+b \quad \text{и} \quad 2b \leq a+b\]
Сложим оба неравенства и получим:
\[2a + 2b \leq 2(a+b)\]
\[2(a+b) \geq a+b\]
\[2 \geq 1\]

Таким образом, неравенства выполняются для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\). Значит, можно выбрать любые два натуральных числа, сумма которых равна 2019, и у них обязательно будет два наибольших собственных делителя. Например, можно выбрать \(a = 1009\) и \(b = 1010\), так как \(1009 + 1010 = 2019\).

Таким образом, данная задача имеет бесконечное количество решений, и любая пара натуральных чисел, сумма которых равна 2019, будет удовлетворять условию задачи.