Какие из нижеперечисленных утверждений верны? (a−−√)2=aa∈R a−−√+b√=a+b−−−−√ a⋅a−−−−√=a,a≥0 a−−√2=a,a≥0 a−−√:b√=a:b−−−−√

Давайте разберем каждое утверждение по отдельности и проверим его на верность.

1. (a−−√)2=aa∈R
Разберемся сначала с левой частью уравнения. Корень квадратный из a можно записать как \(\sqrt{a}\). Тогда выражение \((\sqrt{a})^2\) равно \(a\). Значит, левая часть равна \(a\). Также в условии указано, что \(a\) принадлежит множеству действительных чисел \(\mathbb{R}\). Итак, левая часть уравнения равна \(a\), а правая часть тоже равна \(a\). Значит, первое утверждение верно.

2. a−−√+b√=a+b−−−−√
Тут мы имеем сумму двух корней, и хотим узнать, равна ли она корню суммы. Подставим числа для наглядности. Пусть a = 4 и b = 9. Тогда левая часть равна \(\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5\), а правая часть равна \(\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\). Видим, что левая и правая части не равны, поэтому второе утверждение неверно.

3. a⋅a−−−−√=a,a≥0
Применим тот же подход, что и в предыдущем примере, только теперь умножим корень на себя. Пусть a = 4. Тогда левая часть равна \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4\), а правая часть равна 4. Получается, что левая и правая части равны между собой. Утверждение верно, но оно требует дополнительного условия: a должно быть больше или равно нулю.

4. a−−√2=a,a≥0
В данном случае мы ищем корень числа и хотим узнать, равен ли он числу самому. Пусть a = 4. Тогда левая часть равна \(\sqrt{2} = 1.414\), а правая часть равна 4. Видим, что левая и правая части не равны, поэтому это утверждение неверно.

5. a−−√:b√=a:b−−−−√
Здесь у нас деление одного корня на другой, и мы хотим узнать, равно ли оно корню от деления. Подставим числа для наглядности. Пусть a = 4 и b = 2. Тогда левая часть равна \(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{1.414} \approx 1.414\), а правая часть равна \(\sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2}\). Видим, что левая и правая части не равны, поэтому пятое утверждение неверно.

Итак, из предложенных утверждений только первое и третье верны.