Какие фигуры имеют площадь, равную половине произведения длин диагоналей?

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале определимся с фигурами, у которых диагонали существуют. Такие фигуры называются четырехугольниками или многоугольниками. Мы рассмотрим две наиболее распространенные фигуры, у которых можно вычислить площадь, равную половине произведения длин диагоналей - это прямоугольники и ромбы.

Прямоугольник:

Предположим, у нас есть прямоугольник с диагоналями AC и BD, где AB и CD - это стороны прямоугольника. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин диагоналей равна квадрату диагонали:
\[AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2.\]
Также, площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон:
\[S = AB \cdot CD.\]
Поскольку нам дано, что площадь равна половине произведения длин диагоналей, то мы можем написать:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD.\]
Приравнивая формулы для произведений длин диагоналей и площади, получаем:
\[AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 4 \cdot AB \cdot CD.\]
Это уравнение может быть решено для конкретных значений сторон прямоугольника.

Ромб:

Теперь рассмотрим ромб с диагоналями AC и BD, где AB и BC - это стороны ромба. Площадь ромба также можно выразить через длины его сторон:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC.\]
Используя формулу для площади ромба, равной половине произведения длин диагоналей, мы можем написать:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD.\]
Из этого следует, что площадь ромба равна половине произведения длин диагоналей.

Итак, прямоугольник и ромб - это две фигуры, у которых площадь равна половине произведения длин диагоналей.