Какие числа являются корнями уравнения, если их сумма равна 5 и их произведение равно -24?

Давайте решим эту задачу вместе.

Дано, что сумма двух чисел равна 5:

\(x + y = 5\)

И также дано, что их произведение равно -24:

\(x \cdot y = -24\)

Мы можем использовать эти два уравнения, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), являющиеся корнями данного уравнения.

Давайте решим первое уравнение относительно \(y\). Вычитая \(x\) из обеих сторон, получим:

\(y = 5 - x\)

Теперь, мы можем заменить \(y\) во втором уравнении:

\(x \cdot (5 - x) = -24\)

Раскроем скобки:

\(5x - x^2 = -24\)

Изменим порядок членов с левой стороны:

\(x^2 - 5x - 24 = 0\)

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта \(D\) и формулу для нахождения корней:

Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) (где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -24\)), дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\(D = b^2 - 4ac\)

и корни \(x\) находятся по формуле:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\)

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -24\). Подставляя эти значения в формулы, получим:

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\)

\(x = \frac{{-(-5) \pm \sqrt{121}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{5 \pm 11}}{{2}}\)

Таким образом, мы получаем два возможных значения для \(x\):

\(x_1 = \frac{{5 + 11}}{{2}} = 8\)

\(x_2 = \frac{{5 - 11}}{{2}} = -3\)

Теперь, чтобы найти соответствующие значения для \(y\), мы можем подставить каждое значение \(x\) в уравнение \(y = 5 - x\):

Когда \(x = 8\):

\(y = 5 - 8 = -3\)

Когда \(x = -3\):

\(y = 5 - (-3) = 8\)

Таким образом, корнем данного уравнения являются числа \(x = 8\) и \(y = -3\) или числа \(x = -3\) и \(y = 8\).

Надеюсь, это решение понятно и полезно! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.