Какие числа соответствуют буквам A, B и C, если в шестеричной системе счисления три различные цифры зашифрованы буквами

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть ребус ABAB + BCB = СABA, где A, B и C - буквы, обозначающие различные цифры в шестеричной системе счисления.

Давайте начнем с того, что разберемся с тем, какие числа соответствуют буквам A, B и C. Поскольку A и B встречаются дважды в ребусе, мы можем предположить, что они обозначают одну и ту же цифру.

Пусть этой цифрой будет \(x\). Тогда мы можем уравнять ABAB с СABA.

ABAB = \(6^3 \cdot A + 6^2 \cdot B + 6^1 \cdot A + 6^0 \cdot B = 6^3 \cdot C + 6^2 \cdot A + 6^1 \cdot B + 6^0 \cdot A\)

Это уравнение, где все числа записаны в шестеричной системе счисления.

Подставляя значения, мы получим:

\(6^3 \cdot A + 6^2 \cdot B + 6^1 \cdot A + 6^0 \cdot B = 6^3 \cdot C + 6^2 \cdot A + 6^1 \cdot B + 6^0 \cdot A\)

Раскроем степени:

\(216 \cdot A + 36 \cdot B + 6 \cdot A + B = 216 \cdot C + 36 \cdot A + 6 \cdot B + A\)

Упростим это уравнение:

\(222 \cdot A + 37 \cdot B = 216 \cdot C + A\)

Теперь у нас есть уравнение, где все буквы и числа записаны в десятичной системе счисления.

Далее, мы знаем, что A, B и C - различные цифры в шестеричной системе счисления, поэтому значения A, B и C должны быть от 0 до 5 включительно.

Чтобы найти возможные значения A, B и C, рассмотрим различные случаи. Постепенно подставляя значения, обратим внимание, что \(222 \cdot A + 37 \cdot B\) варьируется от 0 до 216.

Однако, когда \(222 \cdot A + 37 \cdot B = 216 \cdot C + A\), правая часть уравнения \(216 \cdot C + A\) не может быть больше 221 (максимальное значение левой части уравнения \(222 \cdot A + 37 \cdot B\)).

Следовательно, возможные значения C должны быть от 0 до 2 включительно.

Подставляя значения, мы можем рассмотреть следующие случаи:

1) Пусть C = 0:
Тогда у нас есть уравнение \(222 \cdot A + 37 \cdot B = A\).

Подставив A = 1 и B = 5, мы получим 222 + 185 = 1, что явно не верно.
Поэтому, C не может быть равно 0.

2) Пусть C = 1:
Тогда у нас есть уравнение \(222 \cdot A + 37 \cdot B = 216 + A\).

Подставляя различные значения A и B (A = 1, 2, 3, ..., 5; B = 0, 1, 2, ..., 5), мы не получаем ни одного решения для этого уравнения.
Поэтому, C не может быть равно 1.

3) Пусть C = 2:
Тогда у нас есть уравнение \(222 \cdot A + 37 \cdot B = 432 + A\).

Подставляя различные значения A и B (A = 1, 2, 3, ..., 5; B = 0, 1, 2, ..., 5), мы находим два решения:
A = 1 и B = 2 дают 222 + 74 = 432 + 1 (верно!)
A = 4 и B = 1 дают 888 + 37 = 432 + 4 (верно!)

Таким образом, мы нашли две пары чисел, которые соответствуют буквам A, B и C:
A = 1, B = 2 и C = 2;
A = 4, B = 1 и C = 2.

Таким образом, числа, соответствующие буквам A, B и C в шестеричной системе счисления, могут быть либо 1, 2 и 2; либо 4, 1 и 2 соответственно.