Какие целые значения k делают значение выражения k^2+2k+6/k-3 целым числом?

Для решения данной задачи, мы должны найти значения $k$, при которых выражение $\frac{k^2+2k+6}{k-3}$ является целым числом.

Для начала, давайте разберемся с выражением в числителе $k^2+2k+6$. Мы можем заметить, что это квадратный трехчлен. Чтобы выражение было целым числом, числитель должен быть кратен знаменателю $k-3$.

Теперь, когда мы установили это, давайте раскроем числитель квадратного трехчлена. Мы получим $k^2+2k+6=(k+3)(k-2)$.

Таким образом, чтобы значение выражения было целым числом, необходимо, чтобы $k+3$ делилось на $k-3$ без остатка.

Мы можем использовать деление с остатком, чтобы проверить все целые значения $k$ и определить, какие значения делают выражение целым числом.

Давайте проведем деление с остатком для нескольких значений $k$:

Для $k=4$:
$$\frac{k^2+2k+6}{k-3}=\frac{4^2+2\cdot 4+6}{4-3}=\frac{16+8+6}{1}=\frac{30}{1}=30$$
Значение выражения является целым числом.

Для $k=5$:
$$\frac{k^2+2k+6}{k-3}=\frac{5^2+2\cdot 5+6}{5-3}=\frac{25+10+6}{2}=\frac{41}{2}$$
Значение выражения не является целым числом.

Мы можем продолжать делать аналогичные вычисления для различных значений $k$, однако, в данном случае, есть более простой и эффективный способ найти ответ.

Заметим, что делитель $k-3$ всегда будет меньше числителя $k^2+2k+6$, за исключением случая, когда числитель равен 0. Если числитель равен 0, то значение выражения будет равным 0 при любых значениях $k$.

Таким образом, условие для целого значения выражения будет представляться следующим образом:

$$k^2+2k+6=0$$

Это квадратное уравнение, которое можно решить.

Используя формулу дискриминанта, мы можем найти значения $k$:

$$D=b^2-4ac$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 6$$
$$D=4-24$$
$$D=-20$$

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных корней и, следовательно, нет целых значений $k$, при которых выражение $k^2+2k+6/k-3$ будет являться целым числом.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что нет таких целых значений $k$, для которых выражение $k^2+2k+6/k-3$ будет являться целым числом.