Какие целые значения k делают значение выражения k^2+2k+6/k-3 целым числом?

Для решения данной задачи, мы должны найти значения \( k \), при которых выражение \( \frac{k^2 + 2k + 6}{k - 3} \) является целым числом.

Для начала, давайте разберемся с выражением в числителе \( k^2 + 2k + 6 \). Мы можем заметить, что это квадратный трехчлен. Чтобы выражение было целым числом, числитель должен быть кратен знаменателю \( k - 3 \).

Теперь, когда мы установили это, давайте раскроем числитель квадратного трехчлена. Мы получим \( k^2 + 2k + 6 = (k + 3)(k - 2) \).

Таким образом, чтобы значение выражения было целым числом, необходимо, чтобы \( k + 3 \) делилось на \( k - 3 \) без остатка.

Мы можем использовать деление с остатком, чтобы проверить все целые значения \( k \) и определить, какие значения делают выражение целым числом.

Давайте проведем деление с остатком для нескольких значений \( k \):

Для \( k = 4 \):
\[ \frac{k^2 + 2k + 6}{k - 3} = \frac{4^2 + 2 \cdot 4 + 6}{4 - 3} = \frac{16 + 8 + 6}{1} = \frac{30}{1} = 30 \]
Значение выражения является целым числом.

Для \( k = 5 \):
\[ \frac{k^2 + 2k + 6}{k - 3} = \frac{5^2 + 2 \cdot 5 + 6}{5 - 3} = \frac{25 + 10 + 6}{2} = \frac{41}{2} \]
Значение выражения не является целым числом.

Мы можем продолжать делать аналогичные вычисления для различных значений \( k \), однако, в данном случае, есть более простой и эффективный способ найти ответ.

Заметим, что делитель \( k - 3 \) всегда будет меньше числителя \( k^2 + 2k + 6 \), за исключением случая, когда числитель равен 0. Если числитель равен 0, то значение выражения будет равным 0 при любых значениях \( k \).

Таким образом, условие для целого значения выражения будет представляться следующим образом:

\[ k^2 + 2k + 6 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить.

Используя формулу дискриминанта, мы можем найти значения \( k \):

\[ D = b^2 - 4ac \]
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \]
\[ D = 4 - 24 \]
\[ D = -20 \]

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных корней и, следовательно, нет целых значений \( k \), при которых выражение \( k^2 + 2k + 6/k - 3 \) будет являться целым числом.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что нет таких целых значений \( k \), для которых выражение \( k^2 + 2k + 6/k - 3 \) будет являться целым числом.