Какие были скорости тележек до их взаимодействия, если после разъезда их скорости отличались?

Понятно, ваша задача состоит в определении скоростей двух тележек до их взаимодействия, если после взаимодействия их скорости отличаются. Для этого нам понадобятся некоторые известные данные и физические законы.

Пусть первая тележка имеет массу \(m_1\) и скорость до взаимодействия \(v_1\), а вторая тележка имеет массу \(m_2\) и скорость до взаимодействия \(v_2\). После взаимодействия первой и второй тележек, их скорости изменяются, и мы обозначим их как \(v_{1"}\) и \(v_{2"}\).

В данном случае мы будем рассматривать взаимодействие как абсолютно упругий столкновение, где сохраняется полная кинетическая энергия системы. Это означает, что сумма кинетических энергий тележек до взаимодействия равна сумме кинетических энергий после взаимодействия.

Математически это можно выразить следующим образом:

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1"}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2"}^2\]

Также нам известно, что после взаимодействия скорости тележек отличаются. Поэтому можно записать еще одно уравнение, связывающее изменение скоростей:

\[v_{1"} - v_{2"} = \Delta v\]

Где \(\Delta v\) - это разница между скоростями после взаимодействия.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений, которые мы можем решить, чтобы найти значения \(v_{1"}\) и \(v_{2"}\).

Подставляя выражения для кинетической энергии в первое уравнение, мы получим:

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1"}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2"}^2\]

Раскрыв скобки, получим:

\[m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1v_{1"}^2 + m_2v_{2"}^2\]

Теперь мы можем использовать второе уравнение, чтобы избавиться от одной из неизвестных:

\[v_{1"} - v_{2"} = \Delta v\]

Из этого уравнения мы можем выразить, например, \(v_{2"}\) через \(v_{1"}\):

\[v_{2"} = v_{1"} - \Delta v\]

Теперь мы можем заменить \(v_{2"}\) в первом уравнении:

\[m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1v_{1"}^2 + m_2(v_{1"} - \Delta v)^2\]

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы получим:

\[m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1v_{1"}^2 + m_2v_{1"}^2 - 2m_2v_{1"}\Delta v + m_2\Delta v^2\]

Теперь мы можем привести уравнение к квадратичному виду:

\[(m_1 + m_2)v_1^2 + (m_2 - 2m_2)v_{1"}^2 - 2m_2v_{1"}\Delta v + m_2\Delta v^2 - m_2v_2^2 = 0\]

\[(m_1 + m_2)v_1^2 + (m_2 - 2m_2)v_{1"}^2 - 2m_2v_{1"}\Delta v + m_2\Delta v^2 - m_2v_2^2 = 0\]

\[v_{1"}^2((m_2 - 2m_2) - 2m_2\Delta v) + v_1^2(m_1 + m_2) - m_2v_2^2 + m_2\Delta v^2 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(v_{1"}^2\):

\[v_{1"}^2 = \frac{m_2v_2^2 - v_1^2(m_1 + m_2) + m_2\Delta v^2}{(2m_2 - 2m_2\Delta v) - (m_2 + m_1)}\]

Находим Корень:

\[v_{1"} = \sqrt{\frac{m_2v_2^2 - v_1^2(m_1 + m_2) + m_2\Delta v^2}{(2m_2 - 2m_2\Delta v) - (m_2 + m_1)}}\]

Это формула для определения скорости первой тележки после взаимодействия, \(v_{1"}\).

Теперь, чтобы найти скорость второй тележки после взаимодействия, \(v_{2"}\), мы можем использовать второе уравнение:

\[v_{2"} = v_{1"} - \Delta v\]

Надеюсь, этот подробный шаг за шагом расчет поможет вам понять процесс определения скоростей тележек до и после взаимодействия.