Какие будут максимальное и минимальное значения функции y = x + ln (-x) на интервале [-4; -0,5]?

Когда решаем задачу о нахождении максимального и минимального значения функции, мы ищем экстремумы функции, то есть точки, в которых функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Чтобы найти эти точки, нам надо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Данная функция задана выражением \(y = x + \ln(-x)\). Чтобы найти экстремумы на интервале [-4; -0,5], сначала найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\[y" = 1 + \frac{1}{-x}\]

Чтобы продолжить решение, нам понадобится проанализировать область определения функции \(\ln(-x)\). В данном случае, \(\ln(-x)\) определено только для значений x, которые меньше нуля. Поэтому наше исследование будет происходить только на отрицательном интервале [-4; -0,5].

Теперь приравняем производную к нулю и найдем ее значение только внутри данного интервала:

\[1 + \frac{1}{-x} = 0\]
\[\frac{1}{-x} = -1\]
\[-x = -1\]
\[x = 1\]

Мы получили единственную стационарную точку x = 1. Однако, данная точка не лежит в интервале [-4; -0,5], поэтому она не подходит. Это значит, что функция не имеет экстремумов на данном интервале.

Теперь остается только исследовать значения функции на границах интервала [-4; -0,5]. Подставим границы в исходную функцию и посмотрим, какие значения она принимает:

\[y(-4) = -4 + \ln(-(-4)) = -4 + \ln(4)\]
\[y(-0,5) = -0,5 + \ln(-(-0,5)) = -0,5 + \ln(0,5)\]

В данном случае, мы не можем вычислить натуральный логарифм от отрицательных чисел, поэтому значения \(y(-4)\) и \(y(-0,5)\) не определены, или можно сказать, что они равны бесконечности.

Итак, на интервале [-4; -0,5] функция \(y = x + \ln(-x)\) не имеет максимального и минимального значения, так как не имеет экстремумов, а значения на границах интервала равны бесконечности.