Какая вершина треугольника находится ближе к центру вписанной окружности, если в треугольнике ABC стороны AB=3, AC=4

Чтобы определить, какая из вершин треугольника находится ближе к центру вписанной окружности, нам нужно сначала найти радиус этой окружности.

Для начала, давайте воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

\[ r = \frac{{\text{Площадь треугольника}}}{{\text{Полупериметр треугольника}}} \]

чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, определяемый следующим образом:

\[ p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} \]

Подставляя значения сторон треугольника ABC, мы получаем:

\[ AB = 3, AC = 4, BC = 5 \]

\[ p = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6 \]

\[ S = \sqrt{6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6 \]

Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности, подставим полученную площадь и полупериметр в формулу:

\[ r = \frac{6}{6} = 1 \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 1.

Теперь, нам нужно определить, какая из вершин треугольника находится ближе к центру окружности. Для этого нам нужно знать расстояние от каждой вершины до центра окружности.

Мы знаем, что расстояние от центра окружности до стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности. Таким образом, чтобы найти расстояние от он каждой вершины треугольника до центра окружности, мы можем провести перпендикуляры из каждой вершины к соответствующим сторонам треугольника.

Теперь, чтобы сравнить расстояния от вершин до центра окружности, мы можем использовать теорему Пифагора, так как треугольники, образованные вершинами треугольника и окружностью, являются прямоугольными.

Посмотрим на каждую вершину:

1. Вершина A: Чтобы найти расстояние от вершины A до центра окружности, проведем перпендикуляр из A к стороне BC. Пусть точка пересечения перпендикуляра с BC называется D. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABD.

Мы можем найти расстояние DA (или DB) с помощью теоремы Пифагора:

\[ DA = \sqrt{AB^2 - BD^2} \]

\[ DA = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} \]

2. Вершина B: Чтобы найти расстояние от вершины B до центра окружности, проведем перпендикуляр из B к стороне AC. Пусть точка пересечения перпендикуляра с AC называется E. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BEC.

Мы можем найти расстояние EB (или EC) с помощью теоремы Пифагора:

\[ EB = \sqrt{AB^2 - AE^2} \]

\[ EB = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5} \]

3. Вершина C: Чтобы найти расстояние от вершины C до центра окружности, проведем перпендикуляр из C к стороне AB. Пусть точка пересечения перпендикуляра с AB называется F. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ACF.

Мы можем найти расстояние FC (или FA) с помощью теоремы Пифагора:

\[ FC = \sqrt{AC^2 - AF^2} \]

\[ FC = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15} \]

Таким образом, расстояния от вершин треугольника до центра вписанной окружности равны:

- Расстояние от вершины A: \( \sqrt{8} \)
- Расстояние от вершины B: \( \sqrt{5} \)
- Расстояние от вершины C: \( \sqrt{15} \)

Сравнивая эти значения, мы видим, что наименьшее расстояние есть у вершины B. Значит, вершина B находится ближе всего к центру вписанной окружности.

Надеюсь, этот ответ был полезен и понятен! Если у вас есть еще вопросы - не стесняйтесь задавать!