Какая угловая скорость ω и в каком направлении вращается блок, закрепленный на тележке, если тележка движется вправо

Для решения данной задачи, нам понадобятся основные принципы механики и законы сохранения.

Первым шагом определим все известные величины:
Скорость движения тележки вправо: \(v_1 = \frac{1}{2}\pi r\) м/с.
Скорость движения тела вниз: \(v_2 = -\pi r\) м/с.
Радиус блока: \(r\).
Масса тела: \(m\).

Так как тело движется вниз, то на него действует сила тяжести, которая определяется как \(F_г = mg\), где \(g\) - ускорение свободного падения. В данной задаче будем считать \(g\) константой.

На блок, в свою очередь, действует сила натяжения веревки \(T\), направленная вниз и обусловленная движением тела вниз.

Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на блок, равна произведению массы блока на его ускорение:
\[T - mg = m \cdot a\]
где \(a\) - ускорение блока.

Учитывая, что ускорение блока равно производной угловой скорости блока по времени \(\alpha\), умноженной на радиус блока \(r\), получим:
\[T - mg = I \cdot \alpha \cdot r\]
где \(I\) - момент инерции блока.

Момент инерции блока \(I\) связан с угловой скоростью блока \(\omega\) следующим образом:
\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

Подставим это значение в предыдущее уравнение:
\[T - mg = \frac{1}{2} m r^2 \cdot \alpha \cdot r\]

Теперь рассмотрим движение тележки. Сила натяжения веревки \(T\) также является силой трения между блоком и тележкой. Соответственно, сила трения \(F_{тр}\) равна силе натяжения веревки:
\[F_{тр} = T = \mu \cdot F_{н}\]
где \(\mu\) - коэффициент трения, \(F_{н}\) - нормальная сила.

Схематически, силы, действующие на тележку, можно представить так:
\[
\begin{cases} F_{тр} = T = \mu \cdot F_{н} \\ F_{н} = m \cdot g \\ F_{тр} = m \cdot a_t \end{cases}
\]
где \(a_t\) - ускорение тележки.

Теперь, используя второй закон Ньютона, найдем ускорение тележки:
\[\mu \cdot F_{н} = m \cdot a_t\]
\[\mu \cdot m \cdot g = m \cdot a_t\]
\[a_t = \mu \cdot g\]

Таким образом, у нас есть связь между ускорением тележки и коэффициентом трения.

Далее, применяя закон сохранения работы и энергии, можно получить следующее соотношение:
\[F_{тр} \cdot d = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} I \omega^2\]
\[T \cdot r = \frac{1}{2} m \left(\frac{1}{2} \pi r\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m r^2 \cdot \omega^2\]
\[T \cdot r = \frac{1}{8} \pi^2 m r^2 + \frac{1}{8} m r^2 \cdot \omega^2\]
\[T \cdot r = \frac{1}{8} m r^2 \left(\pi^2 + \omega^2\right)\]

Из уравнения \(T - mg = \frac{1}{2} m r^2 \cdot \alpha \cdot r\) можем выразить силу натяжения веревки \(T\):
\[T = \frac{1}{2} m r^2 \cdot \alpha \cdot r + mg\]

Теперь подставим найденное значение силы натяжения веревки в уравнение, полученное ранее:
\[\frac{1}{2} m r^2 \cdot \alpha \cdot r + mg \cdot r = \frac{1}{8} m r^2 \left(\pi^2 + \omega^2\right)\]
\[\frac{1}{2} m r^2 \cdot \alpha \cdot r = \frac{1}{8} m r^2 \left(\pi^2 + \omega^2\right) - mg \cdot r\]

Теперь найдем связь между угловой скоростью блока \(\omega\) и угловым ускорением блока \(\alpha\).
Как мы ранее определили, угловое ускорение блока \(\alpha\) связано с угловой скоростью блока \(\omega\) следующим образом:
\(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\).

Следовательно, можем переписать уравнение в следующем виде:
\[\frac{1}{2} m r^2 \cdot \frac{d\omega}{dt} \cdot r = \frac{1}{8} m r^2 \left(\pi^2 + \omega^2\right) - mg \cdot r\]

Для решения данного дифференциального уравнения необходимо и достаточно знать начальные условия, например, начальную угловую скорость блока и угол поворота блока в начальный момент времени.

В итоге, чтобы определить угловую скорость блока и её направление, необходимо решить данное дифференциальное уравнение с учетом начальных условий.