Какая скорость должна быть у искусственного спутника, чтобы перейти на орбиту Земли, радиус которой вдвое больше

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся основные законы движения тела по орбите и принцип сохранения энергии.

Известно, что для тела, движущегося по круговой орбите с радиусом \( r \), верно следующее:

1. Линейная скорость тела на орбите определяется формулой \( v = \frac{{2\pi r}}{{T}} \), где \( v \) - скорость, \( r \) - радиус орбиты, \( T \) - период обращения тела по орбите.

2. Центростремительное ускорение определяется формулой \( a = \frac{{v^2}}{{r}} \).

3. Кинетическая энергия тела на орбите связана с его скоростью следующим образом: \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), где \( E_k \) - кинетическая энергия, \( m \) - масса тела.

Пользуясь этими формулами, приступим к решению задачи.

Пусть исходная скорость спутника равна \( v_1 \), а радиус орбиты \( r \).

Тогда, согласно условию задачи, радиус орбиты Земли после перехода будет вдвое больше и составит \( 2r \).

При переходе на новую орбиту сохраняется энергия, то есть кинетическая энергия спутника останется неизменной. Мы можем записать это следующим образом:

\[ E_{k_1} = E_{k_2} \]

Используя формулу для кинетической энергии, получим:

\[ \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_2^2 \]

Где \( v_2 \) - новая скорость спутника на орбите.

Также, можно заметить, что масса спутника \( m \) не влияет на решение данной задачи, так как она сократится при расчетах.

Теперь найдем выражение для \( v_2 \):

\[ v_1^2 = v_2^2 \]

Выразим \( v_2 \):

\[ v_2 = \sqrt{v_1^2} \]

Теперь подставим значения из первой формулы для скорости на орбите:

\[ v_2 = \sqrt{\left(\frac{{2\pi r}}{{T}}\right)^2} \]

Используя новый радиус \( 2r \) и период обращения \( T_2 \) на новой орбите, перепишем формулу:

\[ v_2 = \sqrt{\left(\frac{{2\pi (2r)}}{{T_2}}\right)^2} \]

Упростим выражение:

\[ v_2 = \sqrt{\frac{{4\pi^2 r^2}}{{T_2^2}}} \]

После упрощения радикала, получим:

\[ v_2 = \frac{{2\pi r}}{{T_2}} \]

Итак, новая скорость спутника на орбите должна быть равной \( \frac{{2\pi r}}{{T_2}} \), где \( T_2 \) - период обращения спутника на орбите.

Это и является ответом на задачу.