Какая площадь поверхности сферы определяет границу, где лучи проникают в воду, если сфера имеет радиус 25

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем угол преломления воды при переходе из воздуха в стекло. Для этого воспользуемся законом Снеллиуса, который гласит \( n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \), где \( n_1 \) и \( n_2 \) - показатели преломления первой и второй среды соответственно, \( \theta_1 \) и \( \theta_2 \) - углы падения и преломления.

В данном случае первая среда - воздух, а вторая - стекло. По условию, \( n_1 = 1 \) и \( n_2 = 1.5 \). Для нахождения угла преломления воды, нам необходимо знать угол падения. Для сферы радиусом 25 см, угол падения можно найти, вычислив арксинус отношения радиуса стекла к радиусу сферы, то есть \( \sin(\theta_1) = \frac{r_{стекла}}{r_{сферы}} \).

Вычисляем: \( \sin(\theta_1) = \frac{25}{25} = 1 \). Значит, \( \theta_1 = \sin^{-1}(1) = 90^\circ \).

Используя закон Снеллиуса, получаем: \( 1 \cdot \sin(90^\circ) = 1.5 \cdot \sin(\theta_2) \).

Шаг 2: Найдем угол преломления воды в стекле. Составим уравнение:

\[ \sin(\theta_2) = \frac{1}{1.5} \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{1.5} \]

Вычисляем: \( \sin(\theta_2) \approx 0.67 \).

Из этого значения мы можем найти угол преломления воды в стекле:

\( \theta_2 = \sin^{-1}(0.67) \).

Шаг 3: Найдем угол полного внутреннего отражения. Для этого мы используем следующую формулу:

\( \theta_{crit} = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \).

Подставляя значения, получаем: \( \theta_{crit} = \sin^{-1}\left(\frac{1.5}{1.33}\right) \).

Вычисляем: \( \theta_{crit} \approx 53.26^\circ \).

Шаг 4: Найдем площадь поверхности сферы, определяющую границу, где лучи проникают в воду. Для этого мы используем формулу:

\( S = 4\pi r^2 \).

Подставляем значение радиуса сферы: \( S = 4\pi \cdot (25 \, \text{см})^2 \).

Вычисляем: \( S \approx 7854 \, \text{см}^2 \).

Таким образом, площадь поверхности сферы, определяющей границу, где лучи проникают в воду, составляет примерно 7854 квадратных сантиметра.