Какая площадь полной поверхности усеченной пирамиды с правильным четырехугольным основанием, боковым ребром равным

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые формулы и свойства усеченной пирамиды. Но прежде чем приступить к решению, давайте разберемся, что такое усеченная пирамида.

Усеченная пирамида - это такая пирамида, которая имеет два основания, причем одно основание находится выше другого. Боковые грани усеченной пирамиды образуют треугольные грани, а верхнее и нижнее основания являются многоугольниками.

В данной задаче у нас есть усеченная пирамида, у которой нижнее основание - правильный четырехугольник, боковое ребро равно 4 и угол при основании боковой грани равен 60 градусам.

Для начала, найдем высоту усеченной пирамиды. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - это боковое ребро усеченной пирамиды, а катетами - высота усеченной пирамиды и половина ребра нижнего основания. Используя теорему Пифагора, получим:

\[h^2 = (4/2)^2 - r^2\]

где \(h\) - высота усеченной пирамиды, \(r\) - радиус нижнего основания.

Радиус нижнего основания можно найти, разделив диагональ основания, которая является стороной правильного четырехугольника, на 2. Зная, что диагональ правильного четырехугольника равна стороне умноженной на \(\sqrt{2}\), получим:

\[r = \frac{4}{2\sqrt{2}}\]

Подставляем найденное значение \(r\) в формулу для высоты:

\[h^2 = (2)^2 - \left(\frac{4}{2\sqrt{2}}\right)^2\]

\[h^2 = 4 - \frac{16}{8}\]

\[h^2 = 4 - 2\]

\[h^2 = 2\]

\[h = \sqrt{2}\]

Теперь, когда мы знаем высоту усеченной пирамиды, можем найти площадь ее полной поверхности. Для этого нам понадобится найти площадь боковой поверхности и площади верхнего и нижнего оснований.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды рассчитывается по формуле:

\[S_{\text{бок}} = \frac{l}{2}(a + b)\]

где \(l\) - длина бокового ребра, \(a\) и \(b\) - длины сторон нижнего и верхнего оснований соответственно.

Подставляя значения, получим:

\[S_{\text{бок}} = \frac{4}{2}(4 + 2) = 6 \times 4 = 24\]

Для расчета площади верхнего и нижнего оснований, воспользуемся формулой для площади правильного четырехугольника:

\[S_{\text{осн}} = \frac{l^2}{4} \times \sqrt{2}\]

где \(l\) - длина стороны правильного четырехугольника.

Подставляя значение \(l = 4\), получим:

\[S_{\text{осн}} = \frac{4^2}{4} \times \sqrt{2} = 4 \times \sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды, нужно сложить площади боковой поверхности и двух оснований:

\[S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}\]

Подставляя найденные значения, получаем:

\[S_{\text{пол}} = 24 + 2 \times 4 \times \sqrt{2} = 24 + 8 \sqrt{2}\]

Итак, площадь полной поверхности усеченной пирамиды справильным четырехугольным основанием, боковым ребром равным 4 и углом при основании боковой грани равным 60 градусов составляет \(24 + 8 \sqrt{2}\).