Какая площадь кольца, заключенного между вписанной и описанной окружностями в правильном шестиугольнике со стороной

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание формулы для площади кольца. Площадь кольца можно выразить как разность площадей двух окружностей: площади большей окружности и площади меньшей окружности.

Для начала, найдем значение радиуса меньшей окружности. В четырехугольнике, образованном радиусами вписанной окружности, каждая сторона равна радиусу этой окружности. Так как у нас правильный шестиугольник, этот четырехугольник является равнобедренным трапецией. Расстояние между его основаниями равно длине одной стороны шестиугольника, то есть 10 см.

Чтобы найти высоту трапеции, используем теорему Пифагора. Половина основания трапеции равна радиусу меньшей окружности, а другое основание равно радиусу описанной окружности. Обозначим радиус меньшей окружности как \(r\), а радиус описанной окружности как \(R\). По теореме Пифагора:

\[(R + r)^2 = R^2 + (10/2)^2\]

\[(R + r)^2 = R^2 + 25\]

\[R^2 + 2Rr + r^2 = R^2 + 25\]

\[2Rr + r^2 = 25\]

Теперь найдем значение радиуса описанной окружности. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра шестиугольника до одной из его вершин. Положим, что расстояние от центра до вершины равно \(r\) (как и в случае меньшей окружности). Тогда, используя трикутник, образованный радиусом описанной окружности, стороной шестиугольника и одной из его диагоналей, можем использовать теорему косинусов:

\[r^2 = 10^2 + R^2 - 2 \cdot 10 \cdot R \cdot \cos(\frac{2\pi}{6})\]

\[r^2 = 100 + R^2 - 20R \cdot \cos(\frac{\pi}{3})\]

\[r^2 = 100 + R^2 - 20R \cdot \frac{1}{2}\]

\[r^2 = 100 + R^2 - 10R\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{cases} 2Rr + r^2 = 25 \\ r^2 = 100 + R^2 - 10R \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значение \(r^2\) из второго уравнения в первое:

\[2R \cdot (100 + R^2 - 10R) + 100 + R^2 - 10R = 25\]

\[200R + 2R^3 - 20R^2 + 100 + R^2 - 10R = 25\]

\[2R^3 - 19R^2 + 190R + 100 = 25\]

\[2R^3 - 19R^2 + 190R + 75 = 0\]

Мы получили кубическое уравнение, которое можно решить численными методами или графически.

Однако, чтобы упростить вычисления, мы можем заметить, что \(R = 5\) является решением этого уравнения. Если мы подставим \(R = 5\) в первое уравнение, мы получим:

\[2 \cdot 5 \cdot r + r^2 = 25\]

\[10r + r^2 = 25\]

\[r^2 + 10r - 25 = 0\]

Формула дискриминанта говорит нам, что данное уравнение имеет два корня \(r = -5\) и \(r = 5\). Отрицательное значение \(r\) не имеет физического смысла для радиуса окружности, поэтому мы выбираем положительное значение \(r = 5\).

Теперь мы знаем, что радиус меньшей окружности \(r = 5\), а радиус описанной окружности \(R = 5\). Теперь мы можем найти площади обеих окружностей.

Площадь большей окружности можно найти, используя формулу для площади окружности:

\[S_{больше} = \pi R^2\]

\[S_{больше} = \pi \cdot 5^2\]

\[S_{больше} = 25\pi\]

Теперь найдем площадь меньшей окружности:

\[S_{меньше} = \pi r^2\]

\[S_{меньше} = \pi \cdot 5^2\]

\[S_{меньше} = 25\pi\]

Теперь мы можем найти площадь кольца, вычитая площадь меньшей окружности из площади большей окружности:

\[S_{кольца} = S_{больше} - S_{меньше}\]

\[S_{кольца} = 25\pi - 25\pi\]

\[S_{кольца} = 0\]

Получаем, что площадь кольца, заключенного между вписанной и описанной окружностями в данном правильном шестиугольнике, равна 0. Таким образом, ответ на задачу будет буква "в) 25" (ответ делится на π).