Какая площадь имеет сечение конуса, если плоскость, проходящая через вершину с углом 60 градусов к основанию, отсекает

Для решения данной задачи, мы должны сначала понять как выглядит сечение конуса данной плоскостью.

Плоскость пересекает конус таким образом, что образуется фигура, состоящая из двух частей: нижней части, которая является четвертью окружности основания, и верхней части, которая представляет собой сектор круга.

Обозначим через \(A\) и \(B\) точки пересечения плоскости с окружностью основания конуса. Нам известно, что плоскость проходит через вершину конуса и образует угол 60 градусов с основанием. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник \(\triangle OAB\), где \(O\) - центр окружности основания, \(A\) и \(B\) - точки пересечения окружности с плоскостью.

Так как угол \(\angle OAB\) является прямым (плоскость пересекает окружность в форме четверти), то угол \(\angle AOB\) будет равен 90 градусов.

Теперь давайте рассмотрим более детально геометрию данной фигуры. Мы знаем, что высота конуса равна \(\sqrt{2}\), что означает, что расстояние между вершиной конуса и центром окружности основания составляет \(\sqrt{2}\).

Так как у нас есть прямоугольный треугольник \(\triangle OAB\) с гипотенузой \(OA\) равной \(\sqrt{2}\) и углом \(\angle AOB\) равным 90 градусов, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины катета. Поэтому:

\[AB^2 = OA^2 + OB^2\]
\[AB^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2\]
\[AB^2 = 2 + 2\]
\[AB^2 = 4\]
\[AB = 2\]

Теперь, чтобы найти площадь сечения конуса, мы должны вычислить площадь верхней и нижней частей фигуры и сложить их вместе.

Нижняя часть представляет собой четверть окружности радиусом \(AB = 2\). Площадь четверти окружности можно вычислить по формуле:

\[S_{\text{ч.окр}} = \frac{1}{4} \pi r^2\]
\[S_{\text{ч.окр}} = \frac{1}{4} \pi (2)^2\]
\[S_{\text{ч.окр}} = \frac{1}{4} \pi \cdot 4\]
\[S_{\text{ч.окр}} = \pi\]

Верхняя часть представляет собой сектор круга с радиусом \(AB = 2\) и углом \(\angle AOB = 90\) градусов. Площадь сектора можно вычислить по формуле:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{\angle AOB}{360} \pi r^2\]
\[S_{\text{сектора}} = \frac{90}{360} \pi (2)^2\]
\[S_{\text{сектора}} = \frac{1}{4} \pi \cdot 4\]
\[S_{\text{сектора}} = \pi\]

Теперь сложим площадь верхней и нижней частей фигуры:

\[S_{\text{сечения}} = S_{\text{ч.окр}} + S_{\text{сектора}}\]
\[S_{\text{сечения}} = \pi + \pi\]
\[S_{\text{сечения}} = 2\pi\]

Таким образом, площадь сечения конуса, если плоскость, проходящая через вершину с углом 60 градусов к основанию, отсекает четверть окружности основания, равна \(2\pi\).