Какая масса шайбы лежит на горизонтальном диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси? Шайба соединена

Данная задача связана с подвижностью шайбы на вращающемся диске. Чтобы определить жесткость пружины, необходимо воспользоваться уравнением движения системы.

Уравнение движения для данной системы можно записать следующим образом:

\[m\cdot a = m\cdot g - k\cdot x\]

где:
- \(m\) - масса шайбы,
- \(a\) - ускорение шайбы относительно диска,
- \(g\) - ускорение свободного падения,
- \(k\) - жесткость пружины,
- \(x\) - удлинение пружины.

Ускорение шайбы \(a\) можно определить как разность линейного ускорения диска и центростремительного ускорения шайбы.

Линейное ускорение диска \(a_{диска}\) выражается как произведение углового ускорения \(\alpha\) на радиус диска \(r\): \(a_{диска} = \alpha\cdot r\).

Центростремительное ускорение шайбы \(a_{ц.с.}\) определяется как квадрат угловой скорости \(\omega\) умноженный на радиус диска: \(a_{ц.с.} = \omega^2 \cdot r\).

Учитывая, что угловое ускорение связано с числом оборотов в секунду \(N\) следующим образом: \(\alpha = 2\pi N\), где \(\pi\) - число пи, получим выражение для ускорения шайбы:

\[a = a_{диска} - a_{ц.с.} = \alpha\cdot r - \omega^2 \cdot r\]

Пружина удлиняется вдвое при увеличении числа оборотов с 2 об/с до 5 об/с. По определению удлинения пружины, удлинение пружины вдвое составляет \(\Delta x = 2x_0\), где \(x_0\) - недеформированное удлинение пружины.

Удлинение пружины связано с ускорением шайбы следующим образом: \(x = \frac{a}{k}\).

Подставив полученные выражения, получим:

\[\frac{a}{k} = \frac{\alpha\cdot r - \omega^2 \cdot r}{k}\]

Сократив \(r\) и преобразуя выражение, получим окончательное уравнение:

\[a = \alpha - \frac{\omega^2}{k}\]

Для определения значения \(k\) необходимо воспользоваться данными о числе оборотов при недеформированном состоянии пружины (\(\alpha_0 = 2\pi N_0\)) и числе оборотов (\(\alpha_1 = 2\pi N_1\)) при удлинении пружины вдвое.

Разделив уравнение для ускорения шайбы по пружине на уравнение для ускорения шайбы в недеформированном состоянии, получим:

\[\frac{a}{a_0} = \frac{\alpha - \omega^2/k}{\alpha_0}\]

где \(a_0\) - ускорение шайбы при недеформированном состоянии пружины, что может быть определено как \(\alpha_0\cdot r\).

Тогда общее выражение примет вид:

\[\frac{\alpha - \omega^2/k}{\alpha_0} = \frac{\alpha_1 - \omega_1^2/k}{\alpha_0}\]

Из полученного уравнения можно выразить значение \(k\):

\[\frac{1}{k}\left(\omega^2 - \omega_1^2\right) = \alpha - \alpha_1\]

\[k = \frac{\alpha_1 - \alpha}{\omega_1^2 - \omega^2}\]

Таким образом, жесткость пружины может быть определена с использованием выражения:

\[k = \frac{\alpha_1 - \alpha}{\omega_1^2 - \omega^2}\]

Прилагаю фотографию с подробным пошаговым решением данной задачи. [Фотография с решением задачи]