Какая максимальная скорость достигается грузом массой 0,3 кг, колеблющимся на пружине с жесткостью 30 Н/м? Какова полная энергия груза?
Летающий_Космонавт_8779
Чтобы найти максимальную скорость \(v_{\text{макс}}\), достигаемую грузом массой \(m = 0,3 \, \text{кг}\), колеблющимся на пружине с жесткостью \(k = 30 \, \text{Н/м}\), нужно воспользоваться законом сохранения энергии.
Закон сохранения энергии гласит, что полная энергия системы, состоящей из груза и пружины, остается постоянной. В данном случае, полная энергия груза состоит из его кинетической энергии (\(E_{\text{кин}}\)) и потенциальной энергии (\(E_{\text{пот}}\)) пружины.
Уравнение для потенциальной энергии пружины выглядит следующим образом:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]
где \(x\) - смещение пружины от положения равновесия.
Известно, что когда груз проходит через положение равновесия, его скорость \(v_{\text{равн}} = 0\), следовательно, в этот момент всю полную энергию груза составляет его потенциальная энергия. Таким образом, можно записать уравнение:
\[E_{\text{пот}} = E_{\text{полн}}\]
Подставим значение потенциальной энергии пружины и найдем ее:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]
Теперь найдем значение смещения пружины \(x\) в положении равновесия. Когда груз находится в положении равновесия, на него действует только сила упругости пружины, которая равна силе тяжести груза. Выразим смещение пружины \(x\) через известные значения:
\[F_{\text{упр}} = mg\]
\[kx = mg\]
\[x = \frac{mg}{k}\]
Теперь, подставим значение смещения \(x\) в уравнение для потенциальной энергии и найдем ее:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k \left(\frac{mg}{k}\right)^2\]
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k \frac{m^2g^2}{k^2}\]
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} \frac{m^2g^2}{k}\]
Теперь, чтобы найти максимальную скорость \(v_{\text{макс}}\), воспользуемся законом сохранения энергии и равенством потенциальной энергии и полной энергии:
\[E_{\text{пот}} = E_{\text{полн}}\]
\[\frac{1}{2} \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2} m v_{\text{макс}}^2\]
Отсюда можно выразить максимальную скорость \(v_{\text{макс}}\):
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{g^2}{k}}\]
Теперь, чтобы найти значение максимальной скорости \(v_{\text{макс}}\), подставим известные значения:
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{(9,8 \, \text{м/с}^2)^2}{30 \, \text{Н/м}}}\]
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{96,04 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}}\]
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{3,20 \, \text{м}^2/\text{с}^2}\]
\[v_{\text{макс}} = 1,79 \, \text{м/с}\]
Таким образом, максимальная скорость достигается грузом массой 0,3 кг, колеблющимся на пружине с жесткостью 30 Н/м, и равна 1,79 м/с.
Теперь давайте найдем полную энергию груза (\(E_{\text{полн}}\)). Мы уже знаем, что она равна потенциальной энергии пружины:
\[E_{\text{полн}} = E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2} \frac{(0,3 \, \text{кг})^2 \cdot (9,8 \, \text{м/с}^2)^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = \frac{1}{2} \frac{0,09 \, \text{кг}^2 \cdot 96,04 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8,6336 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = \frac{4,3168 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = 0,14 \, \text{Дж}\]
Таким образом, полная энергия груза равна 0,14 Дж.
Закон сохранения энергии гласит, что полная энергия системы, состоящей из груза и пружины, остается постоянной. В данном случае, полная энергия груза состоит из его кинетической энергии (\(E_{\text{кин}}\)) и потенциальной энергии (\(E_{\text{пот}}\)) пружины.
Уравнение для потенциальной энергии пружины выглядит следующим образом:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]
где \(x\) - смещение пружины от положения равновесия.
Известно, что когда груз проходит через положение равновесия, его скорость \(v_{\text{равн}} = 0\), следовательно, в этот момент всю полную энергию груза составляет его потенциальная энергия. Таким образом, можно записать уравнение:
\[E_{\text{пот}} = E_{\text{полн}}\]
Подставим значение потенциальной энергии пружины и найдем ее:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2\]
Теперь найдем значение смещения пружины \(x\) в положении равновесия. Когда груз находится в положении равновесия, на него действует только сила упругости пружины, которая равна силе тяжести груза. Выразим смещение пружины \(x\) через известные значения:
\[F_{\text{упр}} = mg\]
\[kx = mg\]
\[x = \frac{mg}{k}\]
Теперь, подставим значение смещения \(x\) в уравнение для потенциальной энергии и найдем ее:
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k \left(\frac{mg}{k}\right)^2\]
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k \frac{m^2g^2}{k^2}\]
\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} \frac{m^2g^2}{k}\]
Теперь, чтобы найти максимальную скорость \(v_{\text{макс}}\), воспользуемся законом сохранения энергии и равенством потенциальной энергии и полной энергии:
\[E_{\text{пот}} = E_{\text{полн}}\]
\[\frac{1}{2} \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2} m v_{\text{макс}}^2\]
Отсюда можно выразить максимальную скорость \(v_{\text{макс}}\):
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{g^2}{k}}\]
Теперь, чтобы найти значение максимальной скорости \(v_{\text{макс}}\), подставим известные значения:
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{(9,8 \, \text{м/с}^2)^2}{30 \, \text{Н/м}}}\]
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{96,04 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}}\]
\[v_{\text{макс}} = \sqrt{3,20 \, \text{м}^2/\text{с}^2}\]
\[v_{\text{макс}} = 1,79 \, \text{м/с}\]
Таким образом, максимальная скорость достигается грузом массой 0,3 кг, колеблющимся на пружине с жесткостью 30 Н/м, и равна 1,79 м/с.
Теперь давайте найдем полную энергию груза (\(E_{\text{полн}}\)). Мы уже знаем, что она равна потенциальной энергии пружины:
\[E_{\text{полн}} = E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2} \frac{(0,3 \, \text{кг})^2 \cdot (9,8 \, \text{м/с}^2)^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = \frac{1}{2} \frac{0,09 \, \text{кг}^2 \cdot 96,04 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8,6336 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = \frac{4,3168 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{30 \, \text{Н/м}}\]
\[E_{\text{полн}} = 0,14 \, \text{Дж}\]
Таким образом, полная энергия груза равна 0,14 Дж.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
