Какая максимальная скорость достигается грузом массой 0,3 кг, колеблющимся на пружине с жесткостью 30 Н/м? Какова

Чтобы найти максимальную скорость $v_{\text{макс}}$, достигаемую грузом массой $m=0,3\text{кг}$, колеблющимся на пружине с жесткостью $k=30\text{Н/м}$, нужно воспользоваться законом сохранения энергии.

Закон сохранения энергии гласит, что полная энергия системы, состоящей из груза и пружины, остается постоянной. В данном случае, полная энергия груза состоит из его кинетической энергии ($E_{\text{кин}}$) и потенциальной энергии ($E_{\text{пот}}$) пружины.

Уравнение для потенциальной энергии пружины выглядит следующим образом:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{x}^2$$

где $x$ - смещение пружины от положения равновесия.

Известно, что когда груз проходит через положение равновесия, его скорость $v_{\text{равн}}=0$, следовательно, в этот момент всю полную энергию груза составляет его потенциальная энергия. Таким образом, можно записать уравнение:

$$E_{\text{пот}}=E_{\text{полн}}$$

Подставим значение потенциальной энергии пружины и найдем ее:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{x}^2$$

Теперь найдем значение смещения пружины $x$ в положении равновесия. Когда груз находится в положении равновесия, на него действует только сила упругости пружины, которая равна силе тяжести груза. Выразим смещение пружины $x$ через известные значения:

$$F_{\text{упр}}=mg$$

$$kx=mg$$

$$x=\frac{mg}{k}$$

Теперь, подставим значение смещения $x$ в уравнение для потенциальной энергии и найдем ее:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{\left(\frac{mg}{k}\right)}^2$$

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k\frac{m^2{g}^2}{k^2}$$

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}\frac{m^2{g}^2}{k}$$

Теперь, чтобы найти максимальную скорость $v_{\text{макс}}$, воспользуемся законом сохранения энергии и равенством потенциальной энергии и полной энергии:

$$E_{\text{пот}}=E_{\text{полн}}$$

$$\frac{1}{2}\frac{m^2{g}^2}{k}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{макс}}^2$$

Отсюда можно выразить максимальную скорость $v_{\text{макс}}$:

$$v_{\text{макс}}=\sqrt{\frac{g^2}{k}}$$

Теперь, чтобы найти значение максимальной скорости $v_{\text{макс}}$, подставим известные значения:

$$v_{\text{макс}}=\sqrt{\frac{(9,8{\text{м/с}}^2{)}^2}{30\text{Н/м}}}$$

$$v_{\text{макс}}=\sqrt{\frac{96,04{\text{м}}^2/{\text{с}}^2}{30\text{Н/м}}}$$

$$v_{\text{макс}}=\sqrt{3,20{\text{м}}^2/{\text{с}}^2}$$

$$v_{\text{макс}}=1,79\text{м/с}$$

Таким образом, максимальная скорость достигается грузом массой 0,3 кг, колеблющимся на пружине с жесткостью 30 Н/м, и равна 1,79 м/с.

Теперь давайте найдем полную энергию груза ($E_{\text{полн}}$). Мы уже знаем, что она равна потенциальной энергии пружины:

$$E_{\text{полн}}=E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}\frac{m^2{g}^2}{k}=\frac{1}{2}\frac{(0,3\text{кг}{)}^2\cdot (9,8{\text{м/с}}^2{)}^2}{30\text{Н/м}}$$

$$E_{\text{полн}}=\frac{1}{2}\frac{0,09{\text{кг}}^2\cdot 96,04{\text{м}}^2/{\text{с}}^2}{30\text{Н/м}}$$

$$E_{\text{полн}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8,6336\text{кг}\cdot {\text{м}}^2/{\text{с}}^2}{30\text{Н/м}}$$

$$E_{\text{полн}}=\frac{4,3168\text{кг}\cdot {\text{м}}^2/{\text{с}}^2}{30\text{Н/м}}$$

$$E_{\text{полн}}=0,14\text{Дж}$$

Таким образом, полная энергия груза равна 0,14 Дж.