Какая длина высоты правильной треугольной пирамиды, если основание имеет сторону длиной 60 м и боковое ребро образует

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему косинусов для треугольника. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Определение основных данных
Из условия задачи у нас есть следующие данные:
Сторона основания треугольной пирамиды (AB) равна 60 м.
Угол между боковым ребром (BC) и плоскостью основания (ABC) равен 30°.

Шаг 2: Определение длины высоты
Для определения длины высоты треугольной пирамиды, нам необходимо найти отрезок от вершины пирамиды (D) до плоскости основания (ABC). Обозначим эту длину как HD.

Шаг 3: Разбиение бокового ребра
Для удобства решения, разобьем боковое ребро (BC) на две части по высоте треугольной пирамиды. Тогда BD будет равно HD, а CD будет равно оставшейся части бокового ребра. Обозначим длину CD как x.

Шаг 4: Нахождение длины высоты в терминах x
Мы знаем, что угол между боковым ребром (BC) и плоскостью основания (ABC) равен 30°. Так как треугольник BCD является прямоугольным, то мы можем использовать теорему синусов:
\[\sin 30° = \frac{HD}{BC} = \frac{HD}{x + HD}\]

Шаг 5: Решение уравнения
Теперь давайте решим уравнение и определим значение x:
\[\frac{1}{2} = \frac{HD}{x + HD}\]

Перекрестно умножаем и решаем уравнение:

\[2 \cdot HD = x + HD\]
\[HD = x\]

Таким образом, получаем, что HD равно x. То есть, длина высоты треугольной пирамиды равна x.

Шаг 6: Вычисление значения x
Теперь, чтобы найти значение x, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике BCD:

\[BC^2 = BD^2 + CD^2\]
\[(x + HD)^2 = (x)^2 + (60)^2\]

Раскрываем скобки:

\[x^2 + 2xHD + HD^2 = x^2 + 3600\]

Так как у нас равенство HD = x, то:

\[x^2 + 2x^2 + x^2 = x^2 + 3600\]

Переносим все на одну сторону:

\[4x^2 = 3600\]

Находим значение x:

\[x^2 = \frac{3600}{4}\]
\[x^2 = 900\]
\[x = 30\]

Шаг 7: Нахождение значения высоты
Так как HD равно x, то высота треугольной пирамиды равна 30 м.

Таким образом, длина высоты правильной треугольной пирамиды равна 30 метрам.