Какая была начальная температура холодной воды, если для получения 10 кг воды с температурой 40 °С смешали 3 кг воды

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии.

Сначала определим, сколько энергии понадобится для нагрева 3 кг горячей воды с температурой 80 °C до неизвестной начальной температуры:
\[Q_1 = m_1 \cdot c \cdot \Delta T_1\]
где \(Q_1\) - теплоёмкость, \(m_1\) - масса горячей воды, \(c\) - удельная теплоемкость воды, \(\Delta T_1\) - изменение температуры.

Теперь посчитаем, сколько энергии необходимо для нагрева 7 кг холодной воды с неизвестной начальной температуры до 40 °C:
\[Q_2 = m_2 \cdot c \cdot \Delta T_2\]
где \(Q_2\) - теплоёмкость, \(m_2\) - масса холодной воды, \(\Delta T_2\) - изменение температуры.

Также необходимо учесть потерю тепла при смешении горячей и холодной воды. Применим тепловой баланс:
\[Q_1 = Q_2 + Q_{\text{потери}}\]
где \(Q_{\text{потери}}\) - энергия, потерянная в процессе смешения.

Для проведения дальнейших расчетов, введем следующие обозначения:
\(T\) - начальная температура холодной воды,
\(c\) - удельная теплоемкость воды,
\(m_1\) - масса горячей воды,
\(m_2\) - масса холодной воды,
\(T_1\) - температура горячей воды,
\(T_2\) - температура холодной воды.

Теперь записываем систему уравнений:
\[\begin{cases} Q_1 = m_1 \cdot c \cdot (T - T_1)\\ Q_2 = m_2 \cdot c \cdot (40 - T)\\ Q_1 = Q_2 + Q_{\text{потери}}\end{cases}\]

Подставляем значения и продолжаем расчеты:
\[m_1 \cdot c \cdot (T - T_1) = m_2 \cdot c \cdot (40 - T) + Q_{\text{потери}}\]

Для нахождения \(Q_{\text{потери}}\) можно воспользоваться формулой:
\[Q_{\text{потери}} = m_1 \cdot c \cdot (T - T_2)\]

Подставляем ее в систему уравнений:
\[m_1 \cdot c \cdot (T - T_1) = m_2 \cdot c \cdot (40 - T) + m_1 \cdot c \cdot (T - T_2)\]

Раскроем скобки:
\[m_1 \cdot c \cdot T - m_1 \cdot c \cdot T_1 = m_2 \cdot c \cdot 40 - m_2 \cdot c \cdot T + m_1 \cdot c \cdot T - m_1 \cdot c \cdot T_2\]

Упростим:
\[m_1 \cdot c \cdot T - m_2 \cdot c \cdot T = m_2 \cdot c \cdot 40 - m_1 \cdot c \cdot T_1 + m_1 \cdot c \cdot T_2 - m_1 \cdot c \cdot T_1\]

Сократим выражения с одинаковыми членами:
\[m_1 \cdot c \cdot T - m_2 \cdot c \cdot T = m_2 \cdot c \cdot 40 + m_1 \cdot c \cdot (T_2 - T_1)\]

Далее выразим неизвестное \(T\):
\[T = \frac{m_2 \cdot c \cdot 40 + m_1 \cdot c \cdot (T_2 - T_1)}{m_1 \cdot c - m_2 \cdot c}\]

Теперь можно подставить известные значения и рассчитать \(T\):
\[T = \frac{7 \cdot 4200 \cdot 40 + 3 \cdot 4200 \cdot (80 - T_1)}{3 \cdot 4200 - 7 \cdot 4200}\]

После вычислений получим значение \(T\), которое будет являться начальной температурой холодной воды. Округлим его до целого значения и представим в °C.

Например, при \(T_1 = 80 °C\) получим:
\[T = \frac{7 \cdot 4200 \cdot 40 + 3 \cdot 4200 \cdot (80 - 80)}{3 \cdot 4200 - 7 \cdot 4200} = -10 °C\]
Таким образом, начальная температура холодной воды составляла -10 °C. Ответ: -10 °C.