Какая будет температура напитка после установления теплового равновесия между кофе и долитой водой, если начальная

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся основные принципы теплопередачи и законы сохранения энергии. Давайте начнем с расчета количества теплоты, которое передается от кофе к воде.

Количество переданной теплоты можно выразить через формулу:

\(Q = mc\Delta T\),

где \(Q\) - количество теплоты, \(m\) - масса вещества, \(c\) - удельная теплоемкость материала, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Мы знаем, что удельные теплоемкости воды и кофе одинаковые, поэтому можем записать:

\(m_{воды}c\Delta T_{воды} = m_{кофе}c\Delta T_{кофе}\).

Также мы знаем, что масса воды и кофе суммируется после смешивания, то есть \(m_{воды} + m_{кофе} = m_{смесь}\).

Изначально вода имеет температуру 0 °C, а кофе имеет температуру +91 °C, поэтому изменение температуры для воды будет \(\Delta T_{воды} = T_{смесь} - T_{воды}\), а для кофе \(\Delta T_{кофе} = T_{смесь} - T_{кофе}\).

После всех этих приготовлений мы можем получить систему уравнений:

\[
\left\{
\begin{align*}
m_{воды}c(T_{смесь} - 0) &= m_{кофе}c(T_{смесь} - 91) \\
m_{воды} + m_{кофе} &= m_{смесь}
\end{align*}
\right.
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Давайте продолжим.

Система уравнений для нахождения температуры смеси имеет два уравнения:

\[
\left\{
\begin{align*}
m_{воды}cT_{смесь} &= m_{кофе}c(T_{смесь} - 91) \\
m_{воды} + m_{кофе} &= m_{смесь}
\end{align*}
\right.
\]

Мы знаем, что удельные теплоемкости воды и кофе одинаковые, поэтому можем сократить их:

\[
\left\{
\begin{align*}
m_{воды}T_{смесь} &= m_{кофе}(T_{смесь} - 91) \\
m_{воды} + m_{кофе} &= m_{смесь}
\end{align*}
\right.
\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений.

Сперва выразим \(m_{воды}\) через \(m_{смесь}\) во втором уравнении:

\(m_{воды} = m_{смесь} - m_{кофе}\)

Подставим это в первое уравнение:

\((m_{смесь} - m_{кофе})T_{смесь} = m_{кофе}(T_{смесь} - 91)\)

Раскроем скобки:

\(m_{смесь}T_{смесь} - m_{кофе}T_{смесь} = m_{кофе}T_{смесь} - 91m_{кофе}\)

Теперь соберем все члены с \(m_{кофе}\) вместе и все остальные члены в другую часть уравнения:

\(m_{смесь}T_{смесь} - m_{кофе}T_{смесь} - m_{кофе}T_{смесь} = -91m_{кофе}\)

\(m_{смесь}T_{смесь} - 2m_{кофе}T_{смесь} = -91m_{кофе}\)

Теперь выразим \(m_{кофе}\) через \(m_{смесь}\):

\(m_{кофе} = \frac{{m_{смесь}T_{смесь}}}{{2T_{смесь} + 91}}\)

Теперь, чтобы найти температуру смеси \(T_{смесь}\), подставим найденное значение \(m_{кое}\) во второе уравнение системы:

\(m_{воды} + \frac{{m_{смесь}T_{смесь}}}{{2T_{смесь} + 91}} = m_{смесь}\)

Раскроем скобки:

\(m_{воды} + \frac{{m_{смесь}T_{смесь}}}{{2T_{смесь} + 91}} = m_{смесь}\)

Перенесем \(m_{воды}\) на другую сторону:

\(\frac{{m_{смесь}T_{смесь}}}{{2T_{смесь} + 91}} = m_{смесь} - m_{воды}\)

Теперь выразим \(T_{смесь}\):

\(T_{смесь} = \frac{{(m_{смесь} - m_{воды})(2T_{смесь} + 91)}}{{m_{смесь}}}\)

Уравнение сложное, но мы можем его упростить. Подставим значение \(m_{вeоды} = 0\) (поскольку масса воды изначально равна 0) и облегчим уравнение:

\(T_{смесь} = \frac{{91(m_{смесь} - m_{воды})}}{{2m_{смесь}}}\)

Теперь подставим значение \(m_{воды} = 0\) и \(m_{смесь} = m_{кофе}\):

\(T_{смесь} = \frac{{91(m_{кофе} - 0)}}{{2m_{кофе}}} = \frac{{91}}{{2}} = 45,5\)

Таким образом, температура напитка после установления теплового равновесия будет составлять 45,5 °C. Теперь школьник может понять этот ответ.