Какая будет скорость тела в конце спуска с вершины наклонной плоскости высотой 5 м, под углом наклона к горизонту 45°?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить законы движения и принципы динамики.

Первым шагом определим компоненты силы тяжести, действующей на тело. Так как угол наклона плоскости к горизонту составляет 45°, то горизонтальная компонента силы тяжести \( F_{г_x} \) будет равна:

\[ F_{г_x} = m \cdot g \cdot \sin(45°) \]

А вертикальная компонента силы тяжести \( F_{г_y} \) будет равна:

\[ F_{г_y} = m \cdot g \cdot \cos(45°) \]

Поскольку тело находится на наклонной плоскости, на него также действует сила трения \( F_{тр} \), которая задается формулой:

\[ F_{тр} = \mu \cdot F_{н} \]

где \( \mu \) - коэффициент трения, а \( F_{н} \) - нормальная реакция плоскости, равная:

\[ F_{н} = m \cdot g \cdot \cos(45°) \]

Теперь, применим второй закон Ньютона для движения по наклонной плоскости:

\[ F_{нетто_x} = m \cdot a_x \]

где \( F_{нетто_x} \) - сила, действующая в горизонтальном направлении, а \( a_x \) - горизонтальное ускорение.

Учитывая, что \( F_{нетто_x} \) можно представить как разницу между \( F_{г_x} \) и силой трения \( F_{тр} \), получим:

\[ F_{г_x} - F_{тр} = m \cdot a_x \]

Так как тело движется без вертикального ускорения, то вертикальная компонента силы тяжести \( F_{г_y} \) будет компенсирована нормальной реакцией плоскости \( F_{н} \):

\[ F_{н} = F_{г_y} \]

Теперь мы можем рассчитать горизонтальное ускорение \( a_x \), разделив уравнение \( F_{г_x} - F_{тр} = m \cdot a_x \) на массу тела \( m \):

\[ \frac{F_{г_x} - F_{тр}}{m} = a_x \]

Подставим значения:

\[ \frac{m \cdot g \cdot \sin(45°) - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(45°)}{m} = a_x \]

Сократим массу тела \( m \):

\[ g \cdot \sin(45°) - \mu \cdot g \cdot \cos(45°) = a_x \]

Теперь найдем время, которое потребуется телу для преодоления спуска. Для этого воспользуемся законами равноускоренного движения, примененными к горизонтальному направлению:

\[ s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_x \cdot t^2 \]

где \( s \) - начальное расстояние, которое равно высоте спуска \( 5 \) м, а \( v_0 \) - начальная скорость, которая равна \( 0 \) м/с.

Подставим известные значения:

\[ 5 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_x \cdot t^2 \]

Учитывая, что \( a_x \) мы уже нашли, можем решить это уравнение относительно \( t \).

Расчеты, результаты и окончательный ответ:

\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a_x}} \]

\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{g \cdot \sin(45°) - \mu \cdot g \cdot \cos(45°)}} \]

Полученное значение \( t \) будет представлять время, за которое тело пройдет спуск с вершины наклонной плоскости.

Чтобы найти конечную скорость тела в конце спуска, воспользуемся формулой равноускоренного движения:

\[ v = v_0 + a \cdot t \]

Подставим известные значения:

\[ v = 0 + a_x \cdot t \]

Расчеты и результат:

\[ v = a_x \cdot t \]

\[ v = (g \cdot \sin(45°) - \mu \cdot g \cdot \cos(45°)) \cdot t \]

Это будет конечная скорость тела в конце спуска с вершины наклонной плоскости.