Как записать следующее выражение с использованием радикалов: √3 ∛(5²) (2/3)^(-10/3) √5 2^(-0.25) (∛(1/3))^(-2/5) √(2√5

Давайте разберем это выражение по шагам для полного понимания. Вначале перепишем выражение с использованием более привычных обозначений:

\[
\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5^2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{10}{3}} \cdot \sqrt{5} \cdot 2^{-0.25} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{2}{5}} \cdot \sqrt{2\sqrt{5}} \cdot \left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^{-\frac{1}{2}}
\]

Сейчас мы разберем каждый компонент по очереди:

1. \(\sqrt{3}\) - радикал из числа 3 может быть представлен как квадратный корень из 3. Таким образом, мы оставляем \(\sqrt{3}\) без изменений.
2. \(\sqrt[3]{5^2}\) - чтобы вычислить кубический корень из числа, нужно найти число, возведение которого в куб равно 5^2. В данном случае 5^2 = 25, поэтому \(\sqrt[3]{5^2}\) просто будет равно 5.
3. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{10}{3}}\) - это отрицательная степень дроби, поэтому мы можем инвертировать дробь и возвести ее в положительную степень. Таким образом, \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{10}{3}}\) будет равняться \(\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{10}{3}}\).
4. \(\sqrt{5}\) - здесь у нас просто радикал из числа 5, и мы его оставляем без изменений.
5. \(2^{-0.25}\) - отрицательная степень 2 равна 1/2^0.25. Найдем квадратный корень из 2 и возведем его в положительную степень 0.25. Получим \(\sqrt[4]{2}\).
6. \(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{2}{5}}\) - в данном случае у нас снова отрицательная степень, поэтому мы можем инвертировать дробь и возвести ее в положительную степень. Получим \(\left(\sqrt[3]{\frac{3}{1}}\right)^{\frac{2}{5}}\).
7. \(\sqrt{2\sqrt{5}}\) - здесь у нас радикал из произведения 2 и корня числа 5. Мы можем перемножить два радикала и записать это как один радикал. Получим \(\sqrt{10}\).
8. \(\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^{-\frac{1}{2}}\) - в данном случае снова отрицательная степень. Мы можем инвертировать дробь и возвести ее в положительную степень. Получим \(\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\).

Теперь объединим все результаты:

\[
\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{10}{3}} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{3}{1}}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt{10} \cdot \left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}
\]

Мы можем перемножать радикалы, поэтому получим:

\[
\sqrt{3 \cdot 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{10}{3}} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \left(\frac{3}{1}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot 10 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}}
\]

Теперь рассчитаем численное значение этого выражения с помощью калькулятора или математического программного обеспечения.