Как решить данное выражение: (-10ctg(27π/14)-4ctg(29π/14))/(2tg(10π/7)-5ctg(π/14))?

Хорошо, решим данное выражение.

Сначала, давайте упростим каждую тригонометрическую функцию в выражении, используя известные значения тангенса и котангенса.

Выражение выглядит следующим образом: \(\frac{-10\ctg\left(\frac{27\pi}{14}\right)-4\ctg\left(\frac{29\pi}{14}\right)}{2\tg\left(\frac{10\pi}{7}\right)-5\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)}\)

Давайте посчитаем значения тангенса и котангенса для каждого измерения угла:

\[
\begin{align*}
\ctg\left(\frac{27\pi}{14}\right) &= \ctg\left(\frac{27\pi}{14}-2\pi\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{14}\right) \\
\ctg\left(\frac{29\pi}{14}\right) &= \ctg\left(\frac{29\pi}{14}-2\pi\right) = \ctg\left(\frac{15\pi}{14}\right) \\
\tg\left(\frac{10\pi}{7}\right) &= \tg\left(\frac{10\pi}{7}-2\pi\right) = \tg\left(\frac{4\pi}{7}\right) \\
\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right) &= \ctg\left(-\frac{\pi}{14}\right) \\
\end{align*}
\]

Также, мы знаем, что \(\tg(-x) = -\tg(x)\) и \(\ctg(-x) = -\ctg(x)\), поэтому

\[
\begin{align*}
\ctg\left(-\frac{\pi}{14}\right) &= -\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right) \\
\end{align*}
\]

Подставим эти значения обратно в исходное выражение:

\[
\frac{-10\cdot\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)-4\cdot\ctg\left(\frac{15\pi}{14}\right)}{2\cdot\tg\left(\frac{4\pi}{7}\right)-5\cdot\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)}
\]

Теперь, давайте посчитаем числитель и знаменатель отдельно:

\textbf{Числитель:}

\[
-10\cdot\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)-4\cdot\ctg\left(\frac{15\pi}{14}\right)
\]

Посчитаем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\begin{align*}
\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right) &= \ctg\left(\frac{\pi}{14}-\pi\right) = \ctg\left(-\frac{13\pi}{14}\right) \\
\ctg\left(\frac{15\pi}{14}\right) &= \ctg\left(\frac{15\pi}{14}-\pi\right) = \ctg\left(-\frac{\pi}{14}\right) \\
\end{align*}
\]

Подставим значения обратно в числитель:

\[
\begin{align*}
-10\cdot\ctg\left(-\frac{13\pi}{14}\right)-4\cdot\ctg\left(-\frac{\pi}{14}\right)
\end{align*}
\]

\textbf{Знаменатель:}

\[
2\cdot\tg\left(\frac{4\pi}{7}\right)-5\cdot\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)
\]

Посчитаем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\begin{align*}
\tg\left(\frac{4\pi}{7}\right) \\
\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right) \\
\end{align*}
\]

Теперь, давайте подставим числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

\[
\frac{-10\cdot\ctg\left(-\frac{13\pi}{14}\right)-4\cdot\ctg\left(-\frac{\pi}{14}\right)}{2\cdot\tg\left(\frac{4\pi}{7}\right)-5\cdot\ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)}
\]

Извините за перегруженность решения, но это именно объяснение каждого шага. Однако, я могу сократить и привести это к более простому виду, если такой вид ответа вам подходит. Дайте знать, и я перепишу решение.