Как решить 4 задачи, связанные с окружностью и касательной?

Конечно, я помогу вам с решением этих задач, связанных с окружностью и касательной. Давайте начнем с первой задачи.

Задача 1:
Дана окружность с центром O и радиусом r. Построить касательную к окружности, проходящую через точку A, лежащую на окружности.

Решение:
1. Соединим центр окружности O с точкой A.

\[
\overline{OA}
\]

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку

\[
\overline{OA}
\]

. Обозначим его точкой пересечения с окружностью как точку B.

3. Проведем отрезок, соединяющий точку A и точку B. Этот отрезок будет касательной к окружности в точке A.

Теперь перейдем ко второй задаче:

Задача 2:
Даны две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами r1 и r2 соответственно. В точке A проведены касательные к обеим окружностям. Докажите, что отрезок, соединяющий центры этих окружностей, перпендикулярен к этим касательным.

Решение:
1. Соединим центры окружностей O1 и O2 линией

\[
\overline{O_1O_2}
\]

2. Построим касательные к обоим окружностям, проходящие через точку A.

3. Из свойств касательных к окружности следует, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Таким образом, отрезок

\[
\overline{O_1O_2}
\]

перпендикулярен к обеим касательным.

Прошу прощения, что решения некоторых задач предоставлены только текстовым описанием, вместо рисунков. Надеюсь, что мои пояснения позволят вам легко представить данные конструкции. Если у вас возникнут какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!