Как расшифровать полученное сообщение 11011101 с использованием кода Хэмминга с проверкой четности

Код Хэмминга — это метод проверки и коррекции ошибок в передаче данных. Он позволяет обнаруживать и исправлять одиночные ошибки в битовой последовательности. Давайте приступим к расшифровке полученного сообщения "11011101" с использованием кода Хэмминга с проверкой четности.

1. Сначала нам необходимо определить количество проверочных битов, которые мы добавим к нашей исходной последовательности. Для этого используем формулу: \(2^r \geq n + r + 1\), где \(r\) - количество проверочных битов, а \(n\) - количество информационных битов (в нашем случае \(n = 8\)).
Подставляя значения, получаем: \(2^r \geq 8 + r + 1\).

2. Попробуем значения \(r = 2\) и \(r = 3\) и выберем то, которое удовлетворяет неравенству. Таким образом, нам потребуется 4 проверочных бита (\(r = 3\)).

3. Добавим проверочные биты в наше исходное сообщение, заменяя символами "_" каждый проверочный бит. Получим: "1_10_11_0_1".

4. Теперь определим значения для каждого проверочного бита. Каждый проверочный бит покрывает определенную позицию в битовой последовательности. Например, первый проверочный бит покрывает позиции, которые имеют младший бит равным 1 в двоичной системе счисления (исключая сам проверочный бит). Таким образом, позиции, покрытые первым проверочным битом: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Получим следующую таблицу:

Проверочный бит 1: X _ X _ X _ X _ X _ X _ X _ X _
Проверочный бит 2: _ X _ X _ X _ X _ X _ X _ X _ X
Проверочный бит 3: _ _ X X _ _ X X _ _ X X _ _ X X

5. Теперь посчитаем значение для каждого проверочного бита. Для этого присвоим каждому проверочному биту значение паритета (число единиц в позициях, которые он покрывает) и запишем его в соответствующую позицию. Получим следующую таблицу:

Проверочный бит 1: 1 0 1 1 0 1 1 0
Проверочный бит 2: 0 1 1 0 1 1 0 1
Проверочный бит 3: 0 0 1 1 0 0 1 1

6. Теперь суммируем значения всех проверочных битов и проверяем, есть ли ошибка в переданном сообщении. Если сумма равна 0, значит ошибок нет. В противном случае, номер позиции с ненулевым значением суммы указывает на позицию ошибки.

Сумма проверочных битов: 1 1 3 2 1 2 3 2

7. Рассмотрим полученную сумму и определим позицию с ошибкой. Позиция ошибки определяется двоичным представлением номера, заданного этой суммой.
В данном случае сумма равна 13 (в двоичной системе счисления это 1101). Таким образом, ошибка произошла на позиции 13.

8. Используя номер позиции ошибки, исправим полученное сообщение. Если бит на указанной позиции равен 1, изменяем его на 0, и наоборот. Получим исправленное сообщение: "11011001".

Таким образом, исходное сообщение "11011101", переданное с использованием кода Хэмминга с проверкой четности, было успешно расшифровано с исправлением одиночной ошибки, и правильное дешифрованное сообщение - "11011001".

Я надеюсь, что объяснение было достаточно обстоятельным и понятным. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.