Как определить третью координату орта вектора, вдоль которого функция u = 3^(x^(2)-y^(2)-z) убывает наиболее быстро

Хорошо! Для решения этой задачи нам потребуется использовать градиентный вектор. Градиентный вектор — это вектор, имеющий направление касательной к поверхности функции, а его модуль показывает наиболее быстрое изменение функции в данной точке.

Для определения третьей координаты орта вектора, вдоль которого функция убывает наиболее быстро, нам нужно вычислить градиент функции u в точке M(1, 2, 3).

Для начала, найдем частные производные функции u по каждой переменной (x, y, z). Затем составим градиентный вектор, используя найденные частные производные:

\[
\triangledown u = \left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}, \frac{{\partial u}}{{\partial y}}, \frac{{\partial u}}{{\partial z}}\right)
\]

Вычислим первую частную производную функции u по переменной x:

\[
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} (3^{(x^2 - y^2 - z)})
\]

Применяем правило дифференцирования сложной функции:

\[
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = (3^{(x^2 - y^2 - z)}) \cdot \frac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 - y^2 - z)
\]

Дифференцируем каждое слагаемое по переменной x:

\[
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3^{(x^2 - y^2 - z)} \cdot (2x - 0 - 0) = 2x \cdot 3^{(x^2 - y^2 - z)}
\]

Аналогично вычисляем частные производные функции u по переменным y и z:

\[
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 3^{(x^2 - y^2 - z)} \cdot (-2y)
\]

\[
\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = 3^{(x^2 - y^2 - z)} \cdot (-1)
\]

Теперь можем записать градиентный вектор:

\[
\triangledown u = (2x \cdot 3^{(x^2 - y^2 - z)}, -2y \cdot 3^{(x^2 - y^2 - z)}, -1 \cdot 3^{(x^2 - y^2 - z)})
\]

В точке M(1, 2, 3) получим:

\[
\triangledown u = (2 \cdot 1 \cdot 3^{(1^2 - 2^2 - 3)}, -2 \cdot 2 \cdot 3^{(1^2 - 2^2 - 3)}, -1 \cdot 3^{(1^2 - 2^2 - 3)})
\]

Сокращаем:

\[
\triangledown u = (2 \cdot 3^{-6}, -4 \cdot 3^{-6}, -3^{-6})
\]

Таким образом, третья координата орта вектора, вдоль которого функция убывает наиболее быстро в точке M(1, 2, 3), равна -3^{-6}.