Как найти значение w(z) при данном z в комплексных числах, если [tex]w(z)=z^{2} +(z-i^{3} )(z+2)- frac{z+2i}{z-5i^{4

Хорошо! Давайте найдем значение \(w(z)\) при данном значении \(z\) в комплексных числах.

Имеется данное уравнение для \(w(z)\):
\[w(z) = z^2 + (z - i^3)(z + 2) - \frac{z + 2i}{z - 5i^4}\]

Мы также знаем значения \(z\) - \(z = 3 + 5i\).

Для начала, найдем некоторые промежуточные значения:

1. Вычисляем \(z^2\):
\[z^2 = (3 + 5i)^2 = 9 + 15i + 15i + 25i^2 = 9 + 30i - 25 = -16 + 30i\]

2. Вычисляем \(z - i^3\):
\[z - i^3 = 3 + 5i - i^3 = 3 + 5i + i = 3 + 6i\]

3. Вычисляем \(z + 2\):
\[z + 2 = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i\]

4. Вычисляем \(z - 5i^4\):
\[z - 5i^4 = 3 + 5i - 5i^4 = 3 + 5i - 5 = -2 + 5i\]

5. Вычисляем \(\frac{z + 2i}{z - 5i^4}\):
\[\frac{z + 2i}{z - 5i^4} = \frac{3 + 5i + 2i}{-2 + 5i} = \frac{3 + 7i}{-2 + 5i}\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить их в исходное уравнение:

\[w(z) = (-16 + 30i) + (3 + 6i)(5 + 5i) - \frac{3 + 7i}{-2 + 5i}\]

Первым шагом, упростим выражение \((3 + 6i)(5 + 5i)\):
\[(3 + 6i)(5 + 5i) = 15 + 30i + 15i + 30i^2 = 15 + 45i + 30i^2 = 15 + 45i + 30(-1) = 15 + 45i - 30 = -15 + 45i\]

Теперь заменим это значение в оригинальном уравнении:
\[w(z) = (-16 + 30i) + (-15 + 45i) - \frac{3 + 7i}{-2 + 5i}\]

Следующим шагом, упростим выражение \(\frac{3 + 7i}{-2 + 5i}\). Для этого, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:
\[\frac{3 + 7i}{-2 + 5i} = \frac{(3 + 7i)(-2 - 5i)}{(-2 + 5i)(-2 - 5i)}\]
\[\frac{(3 + 7i)(-2 - 5i)}{(-2)^2 - (5i)^2} = \frac{(3 + 7i)(-2 - 5i)}{4 + 25} = \frac{(3 + 7i)(-2 - 5i)}{29}\]

Теперь, заменим это значение в оригинальном уравнении:
\[w(z) = (-16 + 30i) + (-15 + 45i) - \frac{(3 + 7i)(-2 - 5i)}{29}\]

Теперь, посчитаем последний элемент \(w(z)\):

\[\frac{(3 + 7i)(-2 - 5i)}{29} = \frac{-6 - 15i - 14i - 35i^2}{29} = \frac{-6 - 29i - 35(-1)}{29} = \frac{-6 - 29i + 35}{29} = \frac{29 - 29i}{29} = 1 - i\]

Заменим это значение в оригинальном уравнении:
\[w(z) = (-16 + 30i) + (-15 + 45i) - (1 - i)\]

Завершая вычисления:
\[w(z) = -16 + 30i - 15 + 45i - 1 + i = -32 + 76i\]

Таким образом, значения \(w(z)\) при данном \(z\) равно \(-32 + 76i\).

Я надеюсь, что мое пошаговое решение было полезным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне.