Как найти значение выражения: (tg π/15 + tg 4π/15) / (1 - tg π/15 · tg 4π/15)?

Для решения данной задачи, мы можем использовать некоторые свойства и формулы тригонометрии. Давайте начнем:

1. Вспомним формулу тройного угла:
\[\tan(3\theta) = \frac{3\tan(\theta) - \tan^3(\theta)}{1 - 3\tan^2(\theta)}\]

2. Заметим, что угол \(\frac{\pi}{15}\) является третьим углом для угла \(\frac{\pi}{5}\), поэтому мы можем заменить его в выражении.

3. Применим формулу для тройного угла:
\[\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{3\tan\left(\frac{\pi}{15}\right) - \tan^3\left(\frac{\pi}{15}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{\pi}{15}\right)}\]

4. Теперь мы можем записать наше исходное выражение в виде:
\[\frac{\tan\left(\frac{\pi}{15}\right) + \tan\left(\frac{4\pi}{15}\right)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{15}\right) \cdot \tan\left(\frac{4\pi}{15}\right)}\]

5. Заменим каждую из тангенсов на формулу тройного угла:
\[\frac{\frac{3\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) - \tan^3\left(\frac{\pi}{5}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{\pi}{5}\right)} + \frac{3\tan\left(\frac{4\pi}{15}\right) - \tan^3\left(\frac{4\pi}{15}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{4\pi}{15}\right)}}{1 - \frac{3\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) - \tan^3\left(\frac{\pi}{5}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{\pi}{5}\right)} \cdot \frac{3\tan\left(\frac{4\pi}{15}\right) - \tan^3\left(\frac{4\pi}{15}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{4\pi}{15}\right)}}\]

6. Упростим числитель:
\[\frac{3\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) - \tan^3\left(\frac{\pi}{5}\right) + 3\tan\left(\frac{4\pi}{15}\right) - \tan^3\left(\frac{4\pi}{15}\right)}{1 - \frac{3\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) - \tan^3\left(\frac{\pi}{5}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{\pi}{5}\right)} \cdot \frac{3\tan\left(\frac{4\pi}{15}\right) - \tan^3\left(\frac{4\pi}{15}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{4\pi}{15}\right)}}\]

7. Упростим знаменатель:
\[1 - \frac{3\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) - \tan^3\left(\frac{\pi}{5}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{\pi}{5}\right)} \cdot \frac{3\tan\left(\frac{4\pi}{15}\right) - \tan^3\left(\frac{4\pi}{15}\right)}{1 - 3\tan^2\left(\frac{4\pi}{15}\right)} = 1 - \frac{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) + \tan\left(\frac{3\pi}{5}\right)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \tan\left(\frac{3\pi}{5}\right)} \cdot \frac{\tan\left(\frac{4\pi}{15}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{4\pi}{15}\right)}\]

8. Теперь заменим тангенсы на их значения:
\[1 - \frac{\frac{\sqrt{5} - 1}{4} + \frac{\sqrt{5} + 1}{4}}{1 - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{4}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}}\]

9. Упростим числитель:
\[1 - \frac{\frac{2\sqrt{5}}{4}}{1 - \frac{\sqrt{5}^2 - 1}{4}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 - \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{1 - \frac{6 - 4}{12}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}\]

10. Упростим знаменатель:
\[1 - \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{1 - \frac{2}{3}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = 1 - \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{1}{3}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}\]

11. Упростим числитель:
\[1 - \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{1}{3}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{{2\sqrt{3}}}\]

12. Наконец, упростим выражение:
\[1 - \frac{\sqrt{5}}{{2\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{{2\sqrt{3}}}\]

Таким образом, значение данного выражения равно \(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{{2\sqrt{3}}}\).