Как найти точку минимума функции y=7^x^2+30x+237?

Чтобы найти точку минимума функции \(y = 7^{x^2} + 30x + 237\), нужно проделать следующие шаги:

1. Найти производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования.

Производная слагаемого \(7^{x^2}\) равна \((7^{x^2})" = 2x \cdot 7^{x^2} \cdot \ln(7)\), где \(\ln(7)\) - натуральный логарифм числа 7.

Производная слагаемого \(30x\) равна \(30\).

Производная слагаемого \(237\) равна \(0\) (поскольку константа имеет производную равную нулю).

Полная производная функции \(y\) равна:
\[y" = 2x \cdot 7^{x^2} \cdot \ln(7) + 30\]

2. Найденная производная \(y"\) позволяет найти точки, в которых производная равна нулю и определить, являются ли эти точки точками минимума. Для этого приравняем \(y"\) к нулю и решим полученное уравнение относительно \(x\):
\[2x \cdot 7^{x^2} \cdot \ln(7) + 30 = 0\]

Теперь найдем корни этого уравнения. Чтобы его аналитически решить, сложно. Мы можем воспользоваться численными методами, чтобы найти приближенные значения корней.

Подставим уравнение в графический калькулятор или в программу, способную численно решить уравнение, чтобы найти точные значения корней. В данном случае, после вычислений, получим корни уравнения: \(x_1 \approx -4.172\) и \(x_2 \approx 1.891\).

3. Для определения являются ли найденные точки минимумами, максимумами или точками перегиба, проведем анализ второй производной функции \(y\).

Вычислим вторую производную \(y""\) функции \(y\).
Для этого возьмем производную производной функции \(y"\):
\((y")" = \left(2x \cdot 7^{x^2} \cdot \ln(7) + 30\right)" = 2 \cdot 7^{x^2} \cdot \ln^2(7) + 4x^2 \cdot 7^{x^2} \cdot \ln(7)^2\)

4. Для каждой найденной точки (\(x_1 \approx -4.172\) и \(x_2 \approx 1.891\)) подставим их во вторую производную \(y""\).

Для точки \(x_1\):
\[y""(-4.172) = 2 \cdot 7^{(-4.172)^2} \cdot \ln^2(7) + 4 \cdot (-4.172)^2 \cdot 7^{(-4.172)^2} \cdot \ln(7)^2\]

Для точки \(x_2\):
\[y""(1.891) = 2 \cdot 7^{(1.891)^2} \cdot \ln^2(7) + 4 \cdot (1.891)^2 \cdot 7^{(1.891)^2} \cdot \ln(7)^2\]

5. Анализируем значения \(y""(-4.172)\) и \(y""(1.891)\):
- Если \(y""(-4.172) > 0\) и \(y""(1.891) > 0\), это означает, что функция имеет локальные минимумы в точках \(x_1 \approx -4.172\) и \(x_2 \approx 1.891\). Это подтверждает, что в данных точках функция достигает своих наименьших значений.
- Если какое-то из значений \(y""(-4.172)\) или \(y""(1.891)\) равно нулю, это означает, что анализ функции при помощи второй производной недостаточен для определения типа точки (минимум, максимум или точка перегиба). В таком случае, может потребоваться дополнительное исследование функции.
- Если \(y""(-4.172) < 0\) или \(y""(1.891) < 0\), это означает, что функция имеет локальные максимумы в точках \(x_1 \approx -4.172\) и \(x_2 \approx 1.891\).

Таким образом, точки минимума функции \(y = 7^{x^2} + 30x + 237\) находятся при \(x_1 \approx -4.172\) и \(x_2 \approx 1.891\).