Как найти точку минимума функции y=7^x^2+30x+237?

Чтобы найти точку минимума функции $y=7^{x^2}+30x+237$, нужно проделать следующие шаги:

1. Найти производную функции $y$ по переменной $x$. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования.

Производная слагаемого $7^{x^2}$ равна $(7^{x^2})"=2x\cdot 7^{x^2}\cdot \ln (7)$, где $\ln (7)$ - натуральный логарифм числа 7.

Производная слагаемого $30x$ равна $30$.

Производная слагаемого $237$ равна $0$ (поскольку константа имеет производную равную нулю).

Полная производная функции $y$ равна:
$$y"=2x\cdot 7^{x^2}\cdot \ln (7)+30$$

2. Найденная производная $y"$ позволяет найти точки, в которых производная равна нулю и определить, являются ли эти точки точками минимума. Для этого приравняем $y"$ к нулю и решим полученное уравнение относительно $x$:
$$2x\cdot 7^{x^2}\cdot \ln (7)+30=0$$

Теперь найдем корни этого уравнения. Чтобы его аналитически решить, сложно. Мы можем воспользоваться численными методами, чтобы найти приближенные значения корней.

Подставим уравнение в графический калькулятор или в программу, способную численно решить уравнение, чтобы найти точные значения корней. В данном случае, после вычислений, получим корни уравнения: $x_1\approx -4.172$ и $x_2\approx 1.891$.

3. Для определения являются ли найденные точки минимумами, максимумами или точками перегиба, проведем анализ второй производной функции $y$.

Вычислим вторую производную $y""$ функции $y$.
Для этого возьмем производную производной функции $y"$:
$(y")"=(2x\cdot 7^{x^2}\cdot \ln (7)+30)"=2\cdot 7^{x^2}\cdot {\ln }^2(7)+4x^2\cdot 7^{x^2}\cdot \ln (7{)}^2$

4. Для каждой найденной точки ($x_1\approx -4.172$ и $x_2\approx 1.891$) подставим их во вторую производную $y""$.

Для точки $x_1$:
$$y""(-4.172)=2\cdot 7^{(-4.172{)}^2}\cdot {\ln }^2(7)+4\cdot (-4.172{)}^2\cdot 7^{(-4.172{)}^2}\cdot \ln (7{)}^2$$

Для точки $x_2$:
$$y""(1.891)=2\cdot 7^{(1.891{)}^2}\cdot {\ln }^2(7)+4\cdot (1.891{)}^2\cdot 7^{(1.891{)}^2}\cdot \ln (7{)}^2$$

5. Анализируем значения $y""(-4.172)$ и $y""(1.891)$:
- Если $y""(-4.172)>0$ и $y""(1.891)>0$, это означает, что функция имеет локальные минимумы в точках $x_1\approx -4.172$ и $x_2\approx 1.891$. Это подтверждает, что в данных точках функция достигает своих наименьших значений.
- Если какое-то из значений $y""(-4.172)$ или $y""(1.891)$ равно нулю, это означает, что анализ функции при помощи второй производной недостаточен для определения типа точки (минимум, максимум или точка перегиба). В таком случае, может потребоваться дополнительное исследование функции.
- Если $y""(-4.172)<0$ или $y""(1.891)<0$, это означает, что функция имеет локальные максимумы в точках $x_1\approx -4.172$ и $x_2\approx 1.891$.

Таким образом, точки минимума функции $y=7^{x^2}+30x+237$ находятся при $x_1\approx -4.172$ и $x_2\approx 1.891$.