Как найти решение уравнения 12arctg^2 - π arctgx - π/2

Хорошо! Давайте решим это уравнение пошагово.

Уравнение, которое нам предоставлено, имеет следующий вид:

\[12\arctan^2(x) - \pi\arctan(x) - \frac{\pi}{2} = 0\]

Давайте приведем его к более удобному виду. Заменим \(\arctan(x)\) на некоторую переменную, скажем, \(t\). Получим:

\[12t^2 - \pi t - \frac{\pi}{2} = 0\]

Чтобы решить это квадратное уравнение относительно \(t\), мы можем использовать формулу дискриминанта. Для удобства обозначим переменные: \(a = 12\), \(b = -\pi\), \(c = -\frac{\pi}{2}\).

Теперь формула дискриминанта имеет вид: \(D = b^2 - 4ac\). Подставим значения переменных и найдем дискриминант:

\[D = (-\pi)^2 - 4 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\]
\[D = \pi^2 + 24\pi\]

Дискриминант D равен сумме квадрата коэффициента \(b\) и произведения коэффициентов \(a\) и \(c\).

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта, мы можем приступить к решению уравнения.

Если дискриминант \(D\) больше нуля, то у уравнения два различных решения. Если \(D\) равен нулю, у уравнения будет одно решение. Если \(D\) отрицательный, то решений на множестве действительных чисел нет.

Рассмотрим каждый случай:

1. Когда \(D > 0\):
В этом случае у нас два различных решения. Используя формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), мы можем найти эти значения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
и
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения переменных:

\[x_1 = \frac{-(-\pi) + \sqrt{\pi^2 + 24\pi}}{2 \cdot 12}\]
и
\[x_2 = \frac{-(-\pi) - \sqrt{\pi^2 + 24\pi}}{2 \cdot 12}\]

2. Когда \(D = 0\):
В этой ситуации у нас есть одно решение. Воспользуемся формулой для нахождения единственного значения:

\[x = \frac{-b}{2a}\]
Подставим значения переменных:

\[x = \frac{-(-\pi)}{2 \cdot 12}\]

3. Когда \(D < 0\):
В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, для решения данного уравнения, вам необходимо вычислить значения \(x_1\), \(x_2\) или \(x\), в зависимости от значения дискриминанта \(D\). Подставив значения всех переменных, вы получите решение квадратного уравнения.

Напишите обратно, если у вас возникнут дополнительные вопросы или если вы пожелаете увидеть вычисления в более подробном виде.