Как найти решение уравнения 12arctg^2 - π arctgx - π/2

Хорошо! Давайте решим это уравнение пошагово.

Уравнение, которое нам предоставлено, имеет следующий вид:

$$12{\arctan }^2(x)-\pi \arctan (x)-\frac{\pi }{2}=0$$

Давайте приведем его к более удобному виду. Заменим $\arctan (x)$ на некоторую переменную, скажем, $t$. Получим:

$$12t^2-\pi t-\frac{\pi }{2}=0$$

Чтобы решить это квадратное уравнение относительно $t$, мы можем использовать формулу дискриминанта. Для удобства обозначим переменные: $a=12$, $b=-\pi$, $c=-\frac{\pi }{2}$.

Теперь формула дискриминанта имеет вид: $D=b^2-4ac$. Подставим значения переменных и найдем дискриминант:

$$D=(-\pi {)}^2-4\cdot 12\cdot (-\frac{\pi }{2})$$
$$D={\pi }^2+24\pi$$

Дискриминант D равен сумме квадрата коэффициента $b$ и произведения коэффициентов $a$ и $c$.

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта, мы можем приступить к решению уравнения.

Если дискриминант $D$ больше нуля, то у уравнения два различных решения. Если $D$ равен нулю, у уравнения будет одно решение. Если $D$ отрицательный, то решений на множестве действительных чисел нет.

Рассмотрим каждый случай:

1. Когда $D>0$:
В этом случае у нас два различных решения. Используя формулу $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$, мы можем найти эти значения:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$
и
$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения переменных:

$$x_1=\frac{-(-\pi )+\sqrt{{\pi }^2+24\pi }}{2\cdot 12}$$
и
$$x_2=\frac{-(-\pi )-\sqrt{{\pi }^2+24\pi }}{2\cdot 12}$$

2. Когда $D=0$:
В этой ситуации у нас есть одно решение. Воспользуемся формулой для нахождения единственного значения:

$$x=\frac{-b}{2a}$$
Подставим значения переменных:

$$x=\frac{-(-\pi )}{2\cdot 12}$$

3. Когда $D<0$:
В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, для решения данного уравнения, вам необходимо вычислить значения $x_1$, $x_2$ или $x$, в зависимости от значения дискриминанта $D$. Подставив значения всех переменных, вы получите решение квадратного уравнения.

Напишите обратно, если у вас возникнут дополнительные вопросы или если вы пожелаете увидеть вычисления в более подробном виде.