Как найти корни уравнения: х2 + 12у - 4х = -у2

Чтобы найти корни данного уравнения \(x^2 + 12y - 4x = -y^2\), сначала перепишем его в стандартной форме, чтобы было удобнее анализировать:

\[x^2 - 4x + 12y + y^2 = 0\]

Теперь давайте поэтапно решим это уравнение.

Шаг 1: Группируем переменные

Давайте сгруппируем переменные \(x\) и \(y\) в отдельные члены:

\[(x^2 - 4x) + (y^2 + 12y) = 0\]

Шаг 2: Завершаем квадратные члены для \(x\) и \(y\)

Для завершения квадратных членов добавим и вычтем определенное значение внутри скобок. Для члена \(x\) можно добавить и вычесть 4, а для члена \(y\) – 36:

\[(x^2 - 4x + 4 - 4) + (y^2 + 12y + 36 - 36) = 0\]

Шаг 3: Факторизуем квадратные трехчлены и объединяем константы

Теперь мы можем факторизовать квадратные трехчлены. После факторизации у нас останутся:

\[(x - 2)^2 - 4 + (y + 6)^2 - 36 = 0\]

Далее объединим константы:

\[(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 40\]

Шаг 4: Приводим уравнение к стандартному уравнению окружности

Мы получили уравнение окружности вида:

\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)

Где \(h\) и \(k\) – координаты центра окружности, а \(r\) – радиус окружности.

Заметим, что у нас:

\((x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 40\)

Таким образом, центр окружности находится в точке \((2, -6)\), а радиус равен \(\sqrt{40}\) или примерно 6,325.

Итак, уравнение задает окружность с центром в точке \((2, -6)\) и радиусом около 6,325.

Надеюсь, этот развернутый ответ помог вам разобраться в данной задаче! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.