Как найти индукцию и направление магнитного поля на оси одного проводника, если в двух длинных тонких параллельных

Для определения индукции и направления магнитного поля на оси одного проводника, обусловленного двумя длинными тонкими параллельными проводниками, может быть использован закон Био-Савара-Лапласа и закон Ампера.

Начнем с расчета индукции магнитного поля \(B\) на оси проводника. Для этого мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(dB\) в точке P, создаваемое током \(I\) элементарной длины \(d\ell\) проводника, может быть определено следующим образом:

\[dB = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\ell \times \sin\theta}}{{r^2}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)),
\(I\) - ток в проводнике,
\(d\ell\) - элементарная длина проводника,
\(\theta\) - угол между вектором элементарной длины проводника \(d\ell\) и прямой, соединяющей точку P и элементарную длину проводника,
\(r\) - расстояние между точкой P и элементарной длиной проводника.

Для определения индукции магнитного поля на оси проводника, нам нужно проинтегрировать это выражение по всей длине элементарной длины обоих проводников. Однако, поскольку проводники бесконечно длинные, индукция магнитного поля независима от \(z\)-координаты в этой задаче.

Таким образом, учитывая токи, проходящие по обоим проводникам, индукция магнитного поля в точке P на оси одного проводника будет равна сумме полей, создаваемых каждым проводником. Оба проводника расположены на оси \(z\), и мы разместим наш интересующий нас проводник на оси в точке \((0, 0, z)\). Также предположим, что проводник, на котором ищем индукцию, находится на \(z > 0\) а первый проводник на \(z < 0\).

Используя симметрию системы, мы можем сказать, что индукции магнитного поля на каждом проводнике будут одинаковыми. Таким образом, позволяет нам рассчитать индукцию для любого из проводников и потом просто удвоить это значение.

Итак, рассмотрим индукцию магнитного поля на оси, созданное первым проводником с током \(I_1 = 10 \, \text{A}\).

Расстояние между проводниками составляет \(d = 0.1 \, \text{м}\). Поле будет состоять из двух компонент - горизонтальной (параллельной оси \(z\)) и вертикальной (нормальной к оси \(z\)).

Итак, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа, чтобы найти индукцию магнитного поля \(dB_1\) на оси, создаваемое элементарной длиной \(d\ell_1\) первого проводника:

\[dB_1 = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I_1 \cdot d\ell_1}}{{r_1^2}}\]

Здесь \(r_1\) - расстояние от элементарной длины \(d\ell_1\) первого проводника до точки P на оси.

Если проведем вертикальную линию от элементарной длины до оси и горизонтальную линию от точки пересечения до точки P на оси, получим прямоугольный треугольник. Расстояние \(r_1\) может быть найдено с помощью теоремы Пифагора:

\[r_1 = \sqrt{\left(z - \frac{d}{2}\right)^2 + x^2}\]

Так как мы ищем индукцию магнитного поля на оси, \(x = 0\) и \(r_1 = \left|z - \frac{d}{2}\right|\).

Теперь мы можем интегрировать \(dB_1\) по всей длине первого проводника, чтобы найти индукцию магнитного поля на оси, создаваемое первым проводником \(B_1\):

\[B_1 = \int dB_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1}}{{4\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{{d\ell_1}}{{r_1^2}}\]

Так как проводник бесконечно длинный, интеграл можно рассчитать следующим образом:

\[B_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{{\left|z - \frac{d}{2}\right|}}\]

Теперь у нас есть индукция магнитного поля на оси, созданная одним проводником. Поскольку поле будет симметричным относительно оси \(z\), индукция магнитного поля на втором параллельном проводнике также будет равна \(B_1\).

Теперь давайте определим направление магнитного поля на оси. Воспользуемся законом Ампера.

Закон Ампера гласит, что сумма всех токов, охваченных произвольным замкнутым контуром, умноженная на индукцию магнитного поля вдоль этого контура, равняется произведению полного магнитного потока через площадь, охваченную контуром.

Рассмотрим контур, который образуют ось одного проводника и окружность радиусом \(r\) с центром на оси и перпендикулярно к ней. Магнитное поле на всей длине оси одного проводника будет направлено внутрь плоскости, а через окружность оно будет параллельно плоскости.

Магнитное поле создается только проводником, который находится внутри контура, поэтому использовать закон Ампера у нас получится только для одного проводника.

Итак, рассмотрим магнитное поле, создаваемое первым проводником \(B_1\) на проводнике.

Воспользуемся законом Ампера, чтобы определить силу действующую на проводник длины \(\ell\), находящийся в однородном магнитном поле \(B_1\):

\[F_1 = B_1 \cdot \ell \cdot I_1\]

где \(I_1\) - ток, протекающий через проводник.

Теперь, учитывая, что у нас есть два параллельных проводника с одинаковыми токами, сила действия на проводник со стороны двух проводников будет равна сумме сил действия на проводник со стороны каждого проводника:

\[F = 2 \cdot F_1 = 2 \cdot B_1 \cdot \ell \cdot I_1\]

Направление силы \(F\) можно определить с помощью правила левой руки Флеминга: если вы протянете левую руку, так чтобы пальцы указывали в направлении тока, а большой палец указывал в направлении магнитного поля на проводнике, то ваша левая ладонь будет указывать направление силы действия на проводник.

Теперь мы рассчитали индукцию магнитного поля на оси одного проводника, а также направление и силу, действующую на проводник с током. Надеюсь, эта информация будет полезной для вас!