Как найти длины дуг кривых, определенных с использованием параметрических уравнений x=(t^2-2)sint+2tcost

Для нахождения длины дуги кривых, определенных с использованием параметрических уравнений, мы можем воспользоваться формулой длины дуги. Формула эта имеет вид:

\[L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt\]

где \(L\) - длина дуги, \(\frac{dx}{dt}\) и \(\frac{dy}{dt}\) - производные координат \(x(t)\) и \(y(t)\) соответственно, \(t_1\) и \(t_2\) - начальное и конечное значения параметра \(t\).

Давайте найдем производные координат по \(t\):

\[\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[(t^2-2)\sin(t) + 2t\cos(t)]\]
\[\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[(2-t^2)\cos(t) + 2t\sin(t)]\]

После нахождения производных нам нужно подставить их в формулу длины дуги и проинтегрировать по параметру \(t\) от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\).

Давайте вместе найдем производные и вычислим длину дуги.

\(\frac{dx}{dt} = (2t\sin(t) + 2\cos(t) - 2t^2\cos(t) - 2t\sin(t))\)

\(\frac{dy}{dt} = (-2t\sin(t) + 2\cos(t) + 2t^2\sin(t) - 2t\cos(t))\)

Теперь посчитаем длину дуги:

\[L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{[(2t\sin(t) + 2\cos(t) - 2t^2\cos(t) - 2t\sin(t)]^2 + [-2t\sin(t) + 2\cos(t) + 2t^2\sin(t) - 2t\cos(t)]^2} dt\]

\[L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(2\cos(t) - 2t^2\cos(t))^2 + (2\cos(t) + 2t^2\sin(t))^2} dt\]

\[L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{\cos^2(t) - 2t^2\cos^2(t) + \cos^2(t) + 2t^2\sin^2(t) + 2\cos(t)t^2(\sin^2(t) + \cos^2(t))} dt\]

\[L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{\cos^2(t) + \cos^2(t) + 2t^2(\sin^2(t) + \cos^2(t))} dt\]

\[L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{2\cos^2(t) + 2t^2} dt\]

Теперь мы можем выполнить интегрирование для нахождения длины дуги. Поскольку это сложный интеграл, результат может быть представлен в виде численного значения.

Пожалуйста, дайте мне немного времени, чтобы расчитать это значение.