Как найти длины дуг кривых, определенных с использованием параметрических

Question

Математика: Как найти длины дуг кривых, определенных с использованием параметрических уравнений x=(t^2-2)sint+2tcost; y=(2-t^2)cost+2tsint; при условии 0 ≤ t≤ pi/2?

Okean · Accepted Answer

Для нахождения длины дуги кривых, определенных с использованием параметрических уравнений, мы можем воспользоваться формулой длины дуги. Формула эта имеет вид: [L = int_{t_1}^{t_2} sqrt{ left( frac{dx}{dt} right)^2 + left( frac{dy}{dt} right)^2} dt ] где (L ) - длина дуги, ( frac{dx}{dt} ) и ( frac{dy}{dt} ) - производные координат (x(t) ) и (y(t) ) соответственно, (t_1 ) и (t_2 ) - начальное и конечное значения параметра (t ). Давайте найдем производные координат по (t ): [ frac{dx}{dt} = frac{d}{dt}[(t^2-2) sin(t) + 2t cos(t)] ] [ frac{dy}{dt} = frac{d}{dt}[(2-t^2) cos(t) + 2t sin(t)] ] После нахождения производных нам нужно подставить их в формулу длины дуги и проинтегрировать по параметру (t ) от (0 ) до ( frac{ pi}{2} ). Давайте вместе найдем производные и вычислим длину дуги. ( frac{dx}{dt} = (2t sin(t) + 2 cos(t) - 2t^2 cos(t) - 2t sin(t)) ) ( frac{dy}{dt} = (-2t sin(t) + 2 cos(t) + 2t^2 sin(t) - 2t cos(t)) ) Теперь посчитаем длину дуги: [L = int_{0}^{ frac{ pi}{2}} sqrt{[(2t

Как найти длины дуг кривых, определенных с использованием параметрических уравнений x=(t^2-2)sint+2tcost

Okean

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!