Как можно разложить векторы ps, pm и mr на векторы a=pt и b=pr в параллелограмме prst, в котором есть точка пересечения

Чтобы разложить векторы \(\overrightarrow{ps}\), \(\overrightarrow{pm}\) и \(\overrightarrow{mr}\) на векторы \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{pt}\) и \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{pr}\), мы можем воспользоваться методом параллелограмма.

Обратимся к геометрическому представлению векторов. Представим векторы \(\overrightarrow{ps}\), \(\overrightarrow{pm}\) и \(\overrightarrow{mr}\) как смещение точек \(p\), \(m\) и \(r\) относительно начальной точки \(s\).

Для начала, нарисуем параллелограмм \(prst\) и обозначим точку пересечения диагоналей как точку \(q\):

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & & r & \\
& & & \uparrow & & \\
& & & q & \Downarrow & \\
& p & \rightarrow & t & & \\
& \uparrow & & \uparrow & & \\
s & \rightarrow & m & & &
\end{array}
\]

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle pqt\). Он имеет стороны \(a\) и \(b\), а также векторы \(\overrightarrow{pq}\) и \(\overrightarrow{qt}\):

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & & r & \\
& & & \uparrow & & \\
& & & q & \Downarrow & \\
& p & \rightarrow & t & \rightarrow & m \\
& \uparrow & & \uparrow & & \\
s & \rightarrow & & & &
\end{array}
\]

Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, поэтому точка \(q\) является серединой отрезка \(\overline{pm}\). Это значит, что вектор \(\overrightarrow{pq}\) и вектор \(\overrightarrow{qt}\) равны половине векторов \(\overrightarrow{pm}\) и \(\overrightarrow{mr}\) соответственно:

\[
\overrightarrow{pq} = \frac{1}{2} \overrightarrow{pm}
\]
\[
\overrightarrow{qt} = \frac{1}{2} \overrightarrow{mr}
\]

Теперь мы можем выразить векторы \(\overrightarrow{pm}\) и \(\overrightarrow{mr}\) через векторы \(\overrightarrow{pq}\) и \(\overrightarrow{qt}\):

\[
\overrightarrow{pm} = 2 \overrightarrow{pq}
\]
\[
\overrightarrow{mr} = 2 \overrightarrow{qt}
\]

Таким образом, мы можем разложить векторы \(\overrightarrow{ps}\), \(\overrightarrow{pm}\) и \(\overrightarrow{mr}\) на векторы \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{pt}\) и \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{pr}\) следующим образом:

\[
\overrightarrow{ps} = \overrightarrow{pt} + \overrightarrow{ts} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}
\]
\[
\overrightarrow{pm} = \overrightarrow{pq} + \overrightarrow{qm} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}
\]
\[
\overrightarrow{mr} = \overrightarrow{qm} + \overrightarrow{qr} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
\]

Также можно заметить, что разложение векторов \(\overrightarrow{ps}\), \(\overrightarrow{pm}\) и \(\overrightarrow{mr}\) на \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) можно произвести с использованием правила треугольника:

\[
\overrightarrow{ps} = \overrightarrow{pm} + \overrightarrow{mr}
\]

Это даёт нам альтернативный подход к разложению этих векторов.

Таким образом, мы получили полный ответ на задачу о разложении векторов \(\overrightarrow{ps}\), \(\overrightarrow{pm}\) и \(\overrightarrow{mr}\) на векторы \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{pt}\) и \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{pr}\).