Как можно разложить вектор f (9;7;4) по векторам i (0;1;0), j (1;1;0) и k (1;0;1)? Пожалуйста, напишите полный процесс

Мы можем разложить вектор \(\mathbf{f} (9;7;4)\) по векторам \(\mathbf{i} (0;1;0)\), \(\mathbf{j} (1;1;0)\) и \(\mathbf{k} (1;0;1)\), используя координаты этих векторов.

1. Сначала мы найдем проекции вектора \(\mathbf{f}\) на каждый из векторов \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\):
- Проекция вектора \(\mathbf{f}\) на вектор \(\mathbf{i}\) будет равна скалярному произведению \(\mathbf{f} \cdot \mathbf{i}\):
\(\mathbf{f} \cdot \mathbf{i} = (9;7;4) \cdot (0;1;0) = 9 \cdot 0 + 7 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 7\).
- Проекция вектора \(\mathbf{f}\) на вектор \(\mathbf{j}\) будет равна скалярному произведению \(\mathbf{f} \cdot \mathbf{j}\):
\(\mathbf{f} \cdot \mathbf{j} = (9;7;4) \cdot (1;1;0) = 9 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 16\).
- Проекция вектора \(\mathbf{f}\) на вектор \(\mathbf{k}\) будет равна скалярному произведению \(\mathbf{f} \cdot \mathbf{k}\):
\(\mathbf{f} \cdot \mathbf{k} = (9;7;4) \cdot (1;0;1) = 9 \cdot 1 + 7 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 13\).

2. Теперь мы можем выразить вектор \(\mathbf{f}\) суммой проекций на векторы \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\):
\(\mathbf{f} = \mathbf{f}_i + \mathbf{f}_j + \mathbf{f}_k\),
где \(\mathbf{f}_i\) - проекция вектора \(\mathbf{f}\) на вектор \(\mathbf{i}\),
\(\mathbf{f}_j\) - проекция вектора \(\mathbf{f}\) на вектор \(\mathbf{j}\),
\(\mathbf{f}_k\) - проекция вектора \(\mathbf{f}\) на вектор \(\mathbf{k}\).

Подставляя найденные значения проекций, получаем:
\(\mathbf{f} = 7 \cdot \mathbf{i} + 16 \cdot \mathbf{j} + 13 \cdot \mathbf{k}\).

3. Результатом разложения вектора \(\mathbf{f}\) по векторам \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\) будет вектор, полученный в пункте 2:
\(\mathbf{f} = 7 \cdot \mathbf{i} + 16 \cdot \mathbf{j} + 13 \cdot \mathbf{k}\).

Таким образом, вектор \(\mathbf{f} (9;7;4)\) может быть разложен по векторам \(\mathbf{i} (0;1;0)\), \(\mathbf{j} (1;1;0)\) и \(\mathbf{k} (1;0;1)\) следующим образом:
\(\mathbf{f} = 7 \cdot \mathbf{i} + 16 \cdot \mathbf{j} + 13 \cdot \mathbf{k}\).