Как можно раскрасить доску размером 100*100 клеток в три цвета - красный, синий и зеленый, чтобы на ней было одинаковое

Одним из способов решения этой задачи является использование понятия графов. Давайте представим каждую клетку на доске как вершину графа. Если две клетки находятся рядом друг с другом (вертикально или горизонтально), то мы соединяем соответствующие вершины ребром. Итак, каждому домино, занимающему две соседние клетки доски, будет соответствовать ребро графа.

Чтобы рассмотреть возможные раскраски доски, нам необходимо проанализировать свойства графа, построенного на клетках доски. В этом графе каждая вершина имеет степень 4, так как каждая клетка имеет ровно 4 соседних. Итак, в графе заданной доски степень каждой вершины равна 4.

Чтобы у нас было одинаковое количество красно-синих, красно-зеленых и сине-зеленых доминошек, нам нужно, чтобы каждая из трех комбинаций цветов соответствовала одинаковому числу ребер.

Давайте рассмотрим каждую цветовую комбинацию отдельно:

1. Красно-синие доминошки. Всего в доске 500 клеток красного цвета и 500 клеток синего цвета. Поскольку каждая клетка имеет 4 соседние клетки, то количество ребер, соединяющих вершины, соответствующие красным и синим клеткам, должно быть одинаковым. Поэтому предлагается раскрасить доску в шахматном порядке, чтобы каждая красная клетка соединялась ребром с 2 синими клетками и 2 красными клетками.

2. Красно-зеленые доминошки. Аналогично, в доске также 500 клеток красного цвета и 500 клеток зеленого цвета. Количество ребер, соединяющих вершины, соответствующие красным и зеленым клеткам, также должно быть одинаковым. Поэтому предлагается также раскрасить доску в шахматном порядке, чтобы каждая красная клетка соединялась ребром с 2 зелеными клетками и 2 красными клетками.

3. Сине-зеленые доминошки. Здесь у нас также 500 клеток синего цвета и 500 клеток зеленого цвета. Количество ребер, соединяющих вершины, соответствующие синим и зеленым клеткам, должно быть одинаковым. Для этой комбинации цветов также предлагается раскрасить доску в шахматном порядке, чтобы каждая синяя клетка соединялась ребром с 2 зелеными клетками и 2 синими клетками.

Таким образом, раскраска доски в шахматном порядке, при которой каждая клетка имеет степень 4 и одинаковое количество ребер для каждой комбинации цветов, приведет к тому, что на доске будет одинаковое количество красно-синих, красно-зеленых и сине-зеленых доминошек.