Как можно представить функцию f(x), которая является периодической и определена на полупериоде, с использованием ряда

Чтобы представить функцию \(f(x)\) как периодическую функцию на полупериоде, мы можем использовать ряд Фурье по синусам или косинусам.

Давайте начнем объяснение с представления функции \(f(x)\) для значений \(x\), лежащих в интервале от 0 до \(\frac{\pi}{2}\). В этом интервале функция \(f(x)\) равна 0.

Для значений \(x\), лежащих в интервале от \(\frac{\pi}{2}\) до \(x\), функция \(f(x)\) определена как \(\sin(x)\). Это означает, что функция растет от 0 до пика \(\frac{\pi}{2}\), а затем уменьшается обратно к 0.

Для значений \(x\), которые не попадают в предыдущие интервалы, функция \(f(x)\) может быть определена по аналогии. Для этих значений \(f(x)\) также будет равна \(\sin(x)\).

Теперь давайте построим график функции \(f(x)\). На графике вы увидите, что функция равна 0 в интервале от 0 до \(\frac{\pi}{2}\), затем она растет по синусоиде до \(\pi\), и после этого повторяется, так как функция является периодической.

\[ \begin{align*}
f(x) =
\begin{cases}
0, & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\
\sin(x), & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi \\
\sin(x), & \pi < x \leq \frac{3\pi}{2} \\
\sin(x), & \frac{3\pi}{2} < x \leq 2\pi \\
\sin(x), & \ldots \text{ (повторяется периодически)} \\
\end{cases}
\end{align*} \]

Теперь давайте перейдем к ряду Фурье для этой функции. Чтобы представить функцию \(f(x)\) в виде ряда Фурье, мы будем использовать только синусы, так как \(f(x)\) нечётная функция. Формула ряда Фурье для нашей функции будет выглядеть следующим образом:

\[ f(x) \approx \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin((2n-1)x)}{2n-1} \]

Здесь \(\sum_{n=1}^\infty\) обозначает сумму по всем натуральным числам \(n\).

И наконец, давайте построим график суммы ряда Фурье для функции \(f(x)\). На этом графике вы увидите, как сумма ряда Фурье приближается к функции \(f(x)\) с каждым добавленным слагаемым. Чем больше слагаемых в ряду Фурье, тем точнее приближение. Вы также можете заметить, что сумма ряда Фурье является нечётной функцией с периодом \(\pi\).

Надеюсь, это объяснение и графики помогут вам понять, как представить функцию \(f(x)\) как периодическую функцию с использованием ряда Фурье и как это отображается на графиках. Если у вас возникнут вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!