Как можно определить количество способов выдать сдачу в n рублей, если имеется неограниченное количество монет

Что интересная задача! Давайте разберемся вместе.

Чтобы определить количество способов выдать сдачу в n рублей с использованием монет номиналами 1, 2, 5 и 10 рублей, мы можем использовать динамическое программирование. Давайте рассмотрим алгоритм пошагово и применим его для решения примера с 5 рублями.

Шаг 1: Создадим массив dp длиной (n+1) и заполним его нулями. Этот массив будет хранить количество способов получить каждую сумму от 0 до n рублей.

Шаг 2: Изначально, количество способов получить 0 рублей равно 1, поэтому dp[0] = 1.

Шаг 3: Теперь пройдемся по каждому номиналу монеты (1, 2, 5 и 10) и обновим значения массива dp. Для каждой суммы i от 1 до n, мы будем использовать значение dp[i] и добавлять к нему количество способов получить сумму (i - номинал текущей монеты). То есть, dp[i] += dp[i - номинал текущей монеты]. При этом, если (i - номинал текущей монеты) < 0, то мы можем пропустить это обновление, так как не можем выдать отрицательную сумму.

Шаг 4: После завершения всех итераций, значение dp[n] будет содержать искомое количество способов выдать сдачу в n рублей. Таким образом, достаточно просто вывести значение dp[n].

Давайте решим пример с 5 рублями.

Шаг 1: Создадим массив dp, где dp = [0, 0, 0, 0, 0, 0].

Шаг 2: dp[0] = 1.

Шаг 3: Для номинала 1 рубль, обновим значения dp:
- dp[1] += dp[1 - 1] = dp[1] += dp[0] = 1 (dp = [1, 0, 0, 0, 0, 0]).
- dp[2] += dp[2 - 1] = dp[2] += dp[1] = 1 (dp = [1, 1, 0, 0, 0, 0]).
- dp[3] += dp[3 - 1] = dp[3] += dp[2] = 1 (dp = [1, 1, 1, 0, 0, 0]).
- dp[4] += dp[4 - 1] = dp[4] += dp[3] = 1 (dp = [1, 1, 1, 1, 0, 0]).
- dp[5] += dp[5 - 1] = dp[5] += dp[4] = 1 (dp = [1, 1, 1, 1, 1, 0]).

Шаг 4: Выводим dp[5] = 1.

Таким образом, существует только один способ выдать 5 рублей используя монеты номиналами 1, 2, 5 и 10 рублей.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение помогло вам понять, как решить данную задачу. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!