Как можно описать треугольник, у которого вершины имеют координаты a(-1; 5),b(3; 3),c(4; 1) и определить его площадь?

Для описания треугольника с использованием координатных плоскостей, нам потребуются вершины треугольника, в данном случае \(A(-1, 5)\), \(B(3, 3)\) и \(C(4, 1)\). Используя эти точки, мы можем найти длины сторон треугольника и затем вычислить его площадь с помощью формулы Герона.

1. Вычисление длин сторон:
Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длин сторон треугольника. Формула для вычисления расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) на координатной плоскости выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}\]

Применяя эту формулу, мы можем найти длины сторон треугольника:

Длина стороны AB:
\[AB = \sqrt{{(3-(-1))^2 + (3-5)^2}} = \sqrt{{4^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{16 + 4}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Длина стороны BC:
\[BC = \sqrt{{(4-3)^2 + (1-3)^2}} = \sqrt{{1^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{1 + 4}} = \sqrt{5}\]

Длина стороны AC:
\[AC = \sqrt{{(4-(-1))^2 + (1-5)^2}} = \sqrt{{5^2 + (-4)^2}} = \sqrt{{25 + 16}} = \sqrt{41}\]

2. Вычисление площади треугольника:
Мы используем формулу Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. Формула Герона выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}\]

Где \(p\) - полупериметр треугольника.
Полупериметр вычисляется как сумма длин всех сторон, деленная на два:

\[p = \frac{{AB + BC + AC}}{2}\]

Подставляя значения длин сторон треугольника, мы можем вычислить его площадь:

\[p = \frac{{2\sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{41}}}{2} = \frac{{3\sqrt{5} + \sqrt{41}}}{2}\]

\[S = \sqrt{{\left(\frac{{3\sqrt{5} + \sqrt{41}}}{2}\right)\left(\frac{{\sqrt{5}}}{2}\right)\left(\frac{{\sqrt{5}}}{2}\right)\left(\frac{{\sqrt{41}}}{2}\right)}}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[S = \sqrt{{\frac{{(\sqrt{5})^2 \cdot (\sqrt{41})^2}}{2^2}}} = \sqrt{{\frac{{5 \cdot 41}}{4}}} = \sqrt{{\frac{{205}}{4}}} = \frac{{\sqrt{205}}}{2}\]

Таким образом, площадь треугольника со сторонами \(AB\), \(BC\) и \(AC\), описанных координатами вершин \(A(-1, 5)\), \(B(3, 3)\) и \(C(4, 1)\), равна \(\frac{{\sqrt{205}}}{2}\).