Как можно доказать, что оставшиеся четыре вершины образуют новый параллелограмм, если в двух параллелограммах есть пара

Если в двух параллелограммах есть пара противоположных вершин, которые совпадают, это означает, что оба параллелограмма имеют одну общую сторону и две параллельные стороны. Давайте разберемся, как доказать, что оставшиеся четыре вершины образуют новый параллелограмм.

1. Пусть у нас есть два параллелограмма ABCD и EFGH, где вершина A совпадает с вершиной E.

2. Для начала докажем, что сторона AB параллельна стороне EF. Для этого воспользуемся определением параллельности: две прямые линии параллельны, если и только если их направляющие векторы равны.

3. Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{EF}\). Поскольку вершина A совпадает с вершиной E, то координаты этих векторов будут равны.

4. Таким образом, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF}\), что означает, что сторона AB параллельна стороне EF.

5. Аналогично, с помощью рассуждений аналогичных пунктам 2-4, можно доказать, что стороны BC и FG, CD и GH, DA и HE тоже параллельны.

6. Для доказательства того, что сторона AD параллельна стороне EG (или одинаково, что сторона EG параллельна стороне DA), нужно рассмотреть векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{EG}\).

7. Поскольку вершина A совпадает с вершиной E и вершина D совпадает с вершиной H (так как это параллелограммы), то векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{EG}\) будут равны.

8. Таким образом, \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EG}\), что означает, что сторона AD параллельна стороне EG (или EG параллельна AD).

9. Таким образом, у нас имеется новый параллелограмм AEGD, образованный четырьмя оставшимися вершинами изначальных параллелограммов.

Это доказывает, что если в двух параллелограммах есть пара противоположных вершин, которые совпадают, то оставшиеся четыре вершины образуют новый параллелограмм.