Как изменяется кинетическая энергия колеблющегося тела с законом движения x = 2cos 2t (м) по следующим выражениям

Кинетическая энергия колеблющегося тела связана с его скоростью. Для нахождения кинетической энергии \(E_k\) мы можем использовать следующую формулу:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(m\) - масса тела, а \(v\) - его скорость.

Итак, давайте перейдём к решению задачи. Зная закон движения \(x = 2\cos (2t)\), мы можем найти скорость, дифференцируя это выражение по времени:

\[\frac{dx}{dt} = -4\sin(2t)\]

Теперь мы можем использовать полученное выражение чтобы найти скорость тела. Подставив в него \(t = 0\) (потому что нам нужно найти скорость в определённый момент времени), получим:

\[\frac{dx}{dt} \Bigg|_{t = 0} = -4\sin(0) = 0\]

Это означает, что в начале движения скорость колеблющегося тела равна нулю.

Теперь, найдя скорость, мы можем вычислить кинетическую энергию. Поскольку скорость равна нулю в начале движения, то и кинетическая энергия также будет равна нулю.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов выражений:

1. \(4\cos^2(2t)\):

Для этого выражения нам необходимо знать скорость \(\frac{dx}{dt}\). Поскольку нам уже известно, что \(\frac{dx}{dt} = -4\sin(2t)\), мы можем подставить это выражение в формулу для кинетической энергии. Получаем:

\[E_k = \frac{1}{2} m \left(-4\sin(2t)\right)^2 = 8m\sin^2(2t)\]

Таким образом, кинетическая энергия будет изменяться в зависимости от синуса квадрата угла \(2t\).

2. \(4\sin^2(2t)\):

Аналогично предыдущему случаю, мы используем выражение для скорости, чтобы вычислить кинетическую энергию:

\[E_k = \frac{1}{2} m \left(-4\sin(2t)\right)^2 = 8m\sin^2(2t)\]

Здесь также кинетическая энергия будет изменяться в зависимости от синуса квадрата угла \(2t\). Это означает, что энергия будет колебаться и достигать максимума, когда \(\sin^2(2t) = 1\).

3. \(8\sin^2(2t)\):

В этом случае мы также используем выражение для скорости:

\[E_k = \frac{1}{2} m \left(-4\sin(2t)\right)^2 = 8m\sin^2(2t)\]

Здесь кинетическая энергия также изменяется в зависимости от квадрата синуса угла \(2t\). Отличие состоит только в множителе \(8\), что означает, что энергия будет в 8 раз больше, чем в предыдущих случаях.

4. \(8\cos^2(2t)\):

И в этом случае мы получим аналогичное выражение для кинетической энергии:

\[E_k = \frac{1}{2} m \left(-4\sin(2t)\right)^2 = 8m\sin^2(2t)\]

Здесь кинетическая энергия также изменяется в зависимости от квадрата синуса угла \(2t\). Отличие состоит только в коэффициенте \(8\), что означает, что энергия будет в 8 раз больше, чем в предыдущих случаях.

Таким образом, мы получаем, что для всех предложенных вариантов кинетическая энергия колеблющегося тела изменяется в зависимости от синуса квадрата угла \(2t\), но варьируется в зависимости от коэффициента перед ним. Коэффициент указывает, во сколько раз изменится энергия относительно базового случая \(8m\sin^2(2t)\).