Как изменится угол между направлениями векторов скоростей тел после полностью упругого столкновения, если тело

Чтобы ответить на вопрос о том, как изменится угол между направлениями векторов скоростей тел после полностью упругого столкновения, нам потребуется применить законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Пусть у нас есть два тела, которые сталкиваются: одно движется со скоростью \(v\) и имеет массу \(m\), а другое покоится и также имеет массу \(m\).

После столкновения тела приобретут новые скорости, обозначим их \(v_1\) и \(v_2\). Требуется найти угол \(\theta\) между этими векторами скоростей.

Используем закон сохранения импульса. Поскольку горизонтальная составляющая импульса в системе будет сохраняться, получаем, что

\[mv = mv_1 \cdot \cos(\theta) + mv_2 \cdot \cos(180^\circ - \theta)\]

Оба выражения \(mv_1 \cdot \cos(\theta)\) и \(mv_2 \cdot \cos(180^\circ - \theta)\) имеют одно и то же направление, поэтому у нас нет необходимости включать знаки минус.

Используя тригонометрическое соотношение \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)\), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

\[v = v_1 \cdot \cos(\theta) - v_2 \cdot \cos(\theta)\]

Теперь применим закон сохранения кинетической энергии, который гласит, что кинетическая энергия до столкновения должна быть равна кинетической энергии после столкновения:

\[\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2\]

Разделим оба выражения на \(\frac{1}{2}m\) и перепишем в виде:

\[v^2 = v_1^2 + v_2^2\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[v = v_1 \cdot \cos(\theta) - v_2 \cdot \cos(\theta)\]
\[v^2 = v_1^2 + v_2^2\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \(v_1\) и \(v_2\) и, соответственно, угол \(\theta\). При решении этой системы уравнений, получим:

\[v_1 = \frac{2v}{\sqrt{2}} \cdot \cos(\theta)\]
\[v_2 = \frac{v}{\sqrt{2}}\]

Теперь мы можем найти угол \(\theta\), заметив, что

\[\tan(\theta) = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{v}{\sqrt{2}}}{\frac{2v}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2}\]

Находим арктангенс от \(\frac{1}{2}\):

\[\theta = \arctan(\frac{1}{2})\]

Исходя из этого рассуждения, угол между направлениями векторов скоростей тел после полностью упругого столкновения будет равен приблизительно \(26.6^\circ\).