Как изменится скорость, необходимая для покидания планеты, и сила притяжения, действующая на корабль на близком

В данной задаче мы рассматриваем изменения скорости, необходимой для покидания планеты, и силы притяжения, действующей на корабль.

Известно, что масса планеты после перелета к другой планете становится в три раза меньше, а радиус планеты увеличивается в три раза. Наша задача - определить, как это повлияет на скорость покидания планеты и силу притяжения на близком расстоянии от поверхности.

Первое, что следует заметить, это то, что сила притяжения зависит от массы планеты и расстояния до ее центра. Учитывая, что масса уменьшилась в три раза, а расстояние до центра увеличилось в три раза, сила притяжения останется неизменной. Ответ для силы притяжения будет "3) не изменится".

Теперь рассмотрим, как изменится скорость, необходимая для покидания планеты. В основе этого лежит концепция уравновешивания силы тяжести и центростремительной силы, согласно условию устойчивой орбиты.

Находясь в низкой орбите вокруг первоначальной планеты, корабль испытывает силу притяжения, равную \(F_1\), и обладает скоростью \(v_1\). Переходя на стабильную орбиту вокруг новой планеты, корабль будет испытывать силу притяжения \(F_2\) и должен обладать скоростью \(v_2\), достаточной для поддержания новой орбиты.

Мы можем использовать закон сохранения механической энергии, чтобы найти отношение скоростей. Механическая энергия корабля на низкой орбите равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:

\[E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_pm}{R_p}\]

где \(m\) - масса корабля, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_p\) - масса первоначальной планеты, \(R_p\) - радиус первоначальной планеты.

На стабильной орбите у корабля также будет механическая энергия, которая будет состоять из потенциальной и кинетической энергий:

\[E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_n}{R_n}\]

где \(M_n\) - масса новой планеты, \(R_n\) - радиус новой планеты.

Ищем изменение механической энергии при переходе с низкой орбиты на стабильную орбиту:

\[\Delta E = E_2 - E_1\]

Расписывая выражение для изменения механической энергии, получим:

\[\Delta E = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_n}{R_n} - \left(\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_pm}{R_p}\right)\]

Упрощая выражение, получаем:

\[\Delta E = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2) - Gm\left(\frac{M_n}{R_n} - \frac{M_p}{R_p}\right)\]

Так как масса корабля и гравитационная постоянная не изменяются, а \(M_n/R_n\) и \(M_p/R_p\) соответствуют отношениям массы и радиуса планеты, можем записать выражение для изменения механической энергии:

\[\Delta E = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2) - Gm(M_n/R_n - M_p/R_p)\]

Из закона сохранения механической энергии следует, что \(\Delta E = 0\), чтобы механическая энергия оставалась постоянной при переходе с низкой орбиты на стабильную орбиту. Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2) - Gm\left(\frac{M_n}{R_n} - \frac{M_p}{R_p}\right) = 0\]

Упрощая уравнение, получим:

\[\frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) = G\left(\frac{M_n}{R_n} - \frac{M_p}{R_p}\right)\]

Теперь мы можем проанализировать отношение скоростей \(v_2\) и \(v_1\). Подставляем значения \(\frac{M_n}{R_n} = \frac{1}{3}\frac{M_p}{R_p}\), так как масса новой планеты в три раза меньше, а радиус новой планеты в три раза больше:

\[\frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) = G\left(\frac{1}{3}\frac{M_p}{R_p} - \frac{M_p}{R_p}\right)\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) = -\frac{2}{3}G\frac{M_p}{R_p}\]

Теперь обратим внимание на отрицательный коэффициент перед правой частью уравнения. Это говорит о том, что разность скоростей \(v_2^2 - v_1^2\) должна быть отрицательной для того, чтобы уравнение имело решение. Значит, скорость \(v_2\) должна быть меньше скорости \(v_1\). Ответ для скорости будет "2) уменьшится".

Итак, ответ на задачу:
1) Скорость, необходимая для покидания планеты, уменьшится.
2) Сила притяжения, действующая на корабль на близком расстоянии от поверхности планеты, не изменится.

Мы использовали основы механики и закон сохранения энергии для получения ответа с соответствующими пояснениями и обоснованиями.