Как изменится давление и объем газа при адиабатическом расширении азота с P1 = 2 * 10^{5} Па до P2 = 1 * 10^{5

Давайте начнем с первого вопроса о том, как изменится давление и объем газа при адиабатическом расширении азота.

Адиабатический процесс означает, что внешним тепловым потоком системы не обменивается. В данном случае, при адиабатическом расширении, нет теплообмена с окружающей средой.

Мы имеем начальное давление $P_1=2\times {10}^5\text{Па}$ и конечное давление $P_2=1\times {10}^5\text{Па}$. Чтобы узнать, как изменится объем газа, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре объем газа обратно пропорционален его давлению.

$$(P_1\cdot V_1)=(P_2\cdot V_2)$$

Где $V_1$ - начальный объем газа, а $V_2$ - конечный объем газа.

Мы знаем начальное давление $P_1$ и конечное давление $P_2$. Также известно, что при адиабатическом процессе отношение давления к объему газа остается постоянным.

$$\frac{P_1\cdot V_1^{\gamma }}{T_1}=\frac{P_2\cdot V_2^{\gamma }}{T_2}$$

Где $\gamma$ - показатель адиабаты, и для моноатомного газа, такого как азот, значение $\gamma$ составляет около 5/3.

Теперь мы знаем начальное давление $P_1$, конечное давление $P_2$ и показатель адиабаты $\gamma$. Остается только найти отношение объемов газа $V_2/V_1$ при адиабатическом расширении.

$$\frac{P_1\cdot V_1^{\gamma }}{T_1}=\frac{P_2\cdot V_2^{\gamma }}{T_2}$$

Мы знаем, что $P_1=2\times {10}^5\text{Па}$, $P_2=1\times {10}^5\text{Па}$, $T_1=420\text{K}$, и $\gamma =5/3$. Теперь мы можем решить уравнение относительно $V_2/V_1$:

$$\frac{2\times {10}^5\cdot V_1^{\gamma }}{420}=\frac{1\times {10}^5\cdot V_2^{\gamma }}{420}$$

$$\frac{2\cdot V_1^{\gamma }}{420}=\frac{V_2^{\gamma }}{420}$$

Упрощая уравнение, получим:

$$2\cdot V_1^{\gamma }=V_2^{\gamma }$$

Теперь извлечем корень гамма-ой степени:

$$V_2=(2\cdot V_1{)}^{\frac{1}{\gamma }}$$

Таким образом, объем газа увеличится в $(2\cdot V_1{)}^{\frac{1}{\gamma }}$ раз при адиабатическом расширении.

Теперь перейдем ко второй части задачи, где азот нагревается до первоначальной температуры $T_1=420\text{K}$ при постоянном объеме.

Поскольку процесс происходит при постоянном объеме, мы можем использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что при постоянном объеме давление газа прямо пропорционально его температуре.

$$\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}$$

Где $P_1$ и $T_1$ - начальное давление и температура, $P_2$ и $T_2$ - конечное давление и температура.

Мы знаем начальное давление $P_1$, конечное давление $P_2$ и начальную температуру $T_1$. Чтобы найти конечную температуру $T_2$, оставим уравнение относительно $T_2$:

$$\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}$$

$$T_2=\frac{P_2\cdot T_1}{P_1}$$

Подставим значения: $P_1=2\times {10}^5\text{Па}$, $P_2=1\times {10}^5\text{Па}$, $T_1=420\text{K}$:

$$T_2=\frac{1\times {10}^5\cdot 420}{2\times {10}^5}$$

$$T_2=210\text{K}$$

Таким образом, конечная температура $T_2$ после нагревания азота до первоначальной температуры при постоянном объеме составит 210 К.

Теперь перейдем к третьей части задачи, где нам нужно построить график процесса в координатах P - V и определить приращение внутренней энергии $\mathrm{\Delta }{U}_{1-2-3}$ и работу газа $A_{1-2-3}$ за весь процесс.

Для построения графика процесса в координатах P - V нам нужно знать значения давления и объема газа в различных состояниях процесса.

Исходя из данных в задаче, мы имеем начальные значения $P_1=2\times {10}^5\text{Па}$ и $V_1$, а также конечные значения $P_2=1\times {10}^5\text{Па}$ и $V_2=(2\cdot V_1{)}^{\frac{1}{\gamma }}$.

Для того, чтобы определить изменение внутренней энергии $\mathrm{\Delta }{U}_{1-2-3}$, мы можем использовать первый закон термодинамики, который гласит, что изменение внутренней энергии системы равно сумме работы $A_{1-2-3}$, совершенной над системой, и теплообмену $Q_{1-2-3}$ с окружающей средой.

$\mathrm{\Delta }{U}_{1-2-3}=Q_{1-2-3}-A_{1-2-3}$

Однако, поскольку процесс адиабатический, то $Q_{1-2-3}=0$, так как теплообмена с окружающей средой не происходит. Поэтому уравнение может быть упрощено:

$\mathrm{\Delta }{U}_{1-2-3}=-A_{1-2-3}$

Таким образом, изменение внутренней энергии $\mathrm{\Delta }{U}_{1-2-3}$ равно работе газа $A_{1-2-3}$ за весь процесс.

Чтобы определить работу $A_{1-2-3}$, мы можем использовать следующую формулу:

$A={\int }_{V_1}^{V_2}PdV$

Где $dV$ - малое изменение объема, а $P$ - давление в данном состоянии газа.

Вычислять интеграл в данной задаче сложно, так как давление меняется с изменением объема и нужно использовать уравнение состояния газа. Однако мы можем приближенно рассчитать работу путем разделения процесса на две части: адиабатическое расширение и изохорное нагревание.

Для части адиабатического расширения (1-2) мы можем использовать уравнение адиабатического процесса:

$P{V}^{\gamma }=\text{const}$

Интегрируя это уравнение от $P_1$ до $P_2$ и от $V_1$ до $V_2$, мы получим:

$A_{1-2}=\frac{P_2\cdot V_2-P_1\cdot V_1}{\gamma -1}$

Теперь для части изохорного нагревания (2-3) объем газа остается постоянным, поэтому работа равна нулю: $A_{2-3}=0$.

Таким образом, работа газа за весь процесс $A_{1-2-3}$ будет равна работе в части адиабатического расширения:

$A_{1-2-3}=A_{1-2}=\frac{P_2\cdot V_2-P_1\cdot V_1}{\gamma -1}$

Чтобы построить график процесса в координатах P - V, мы рисуем систему координат с осями P и V. На оси P отмечаем значения $P_1$ и $P_2$, а на оси V отмечаем значения $V_1$ и $V_2$.

Таким образом, построение графика процесса в координатах P - V и определение приращения внутренней энергии $\mathrm{\Delta }{U}_{1-2-3}$ и работы газа $A_{1-2-3}$ за весь процесс завершено.