Как изменится давление и объем газа при адиабатическом расширении азота с P1 = 2 * 10^{5} Па до P2 = 1 * 10^{5} Па? Затем, при постоянном объеме, азот нагревается до первоначальной температуры T1 = 420К. Необходимо построить график процесса в координатах P - V и определить приращение внутренней энергии ΔU1-2-3 и работу газа А1-2-3 за весь процесс.
Natalya
Давайте начнем с первого вопроса о том, как изменится давление и объем газа при адиабатическом расширении азота.
Адиабатический процесс означает, что внешним тепловым потоком системы не обменивается. В данном случае, при адиабатическом расширении, нет теплообмена с окружающей средой.
Мы имеем начальное давление \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\) и конечное давление \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\). Чтобы узнать, как изменится объем газа, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре объем газа обратно пропорционален его давлению.
\[(P_1 \cdot V_1) = (P_2 \cdot V_2)\]
Где \(V_1\) - начальный объем газа, а \(V_2\) - конечный объем газа.
Мы знаем начальное давление \(P_1\) и конечное давление \(P_2\). Также известно, что при адиабатическом процессе отношение давления к объему газа остается постоянным.
\[\frac{{P_1 \cdot V_1^\gamma}}{{T_1}} = \frac{{P_2 \cdot V_2^\gamma}}{{T_2}}\]
Где \(\gamma\) - показатель адиабаты, и для моноатомного газа, такого как азот, значение \(\gamma\) составляет около 5/3.
Теперь мы знаем начальное давление \(P_1\), конечное давление \(P_2\) и показатель адиабаты \(\gamma\). Остается только найти отношение объемов газа \(V_2/V_1\) при адиабатическом расширении.
\[\frac{{P_1 \cdot V_1^\gamma}}{{T_1}} = \frac{{P_2 \cdot V_2^\gamma}}{{T_2}}\]
Мы знаем, что \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(T_1 = 420 \, \text{K}\), и \(\gamma = 5/3\). Теперь мы можем решить уравнение относительно \(V_2/V_1\):
\[\frac{{2 \times 10^{5} \cdot V_1^\gamma}}{{420}} = \frac{{1 \times 10^{5} \cdot V_2^\gamma}}{{420}}\]
\[\frac{{2 \cdot V_1^\gamma}}{{420}} = \frac{{V_2^\gamma}}{{420}}\]
Упрощая уравнение, получим:
\[2 \cdot V_1^\gamma = V_2^\gamma\]
Теперь извлечем корень гамма-ой степени:
\[V_2 = (2 \cdot V_1)^\frac{1}{\gamma}\]
Таким образом, объем газа увеличится в \((2 \cdot V_1)^\frac{1}{\gamma}\) раз при адиабатическом расширении.
Теперь перейдем ко второй части задачи, где азот нагревается до первоначальной температуры \(T_1 = 420 \, \text{K}\) при постоянном объеме.
Поскольку процесс происходит при постоянном объеме, мы можем использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что при постоянном объеме давление газа прямо пропорционально его температуре.
\[\frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}}\]
Где \(P_1\) и \(T_1\) - начальное давление и температура, \(P_2\) и \(T_2\) - конечное давление и температура.
Мы знаем начальное давление \(P_1\), конечное давление \(P_2\) и начальную температуру \(T_1\). Чтобы найти конечную температуру \(T_2\), оставим уравнение относительно \(T_2\):
\[\frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}}\]
\[T_2 = \frac{{P_2 \cdot T_1}}{{P_1}}\]
Подставим значения: \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(T_1 = 420 \, \text{K}\):
\[T_2 = \frac{{1 \times 10^5 \cdot 420}}{{2 \times 10^5}}\]
\[T_2 = 210 \, \text{K}\]
Таким образом, конечная температура \(T_2\) после нагревания азота до первоначальной температуры при постоянном объеме составит 210 К.
Теперь перейдем к третьей части задачи, где нам нужно построить график процесса в координатах P - V и определить приращение внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\) и работу газа \(A_{1-2-3}\) за весь процесс.
Для построения графика процесса в координатах P - V нам нужно знать значения давления и объема газа в различных состояниях процесса.
Исходя из данных в задаче, мы имеем начальные значения \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\) и \(V_1\), а также конечные значения \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\) и \(V_2 = (2 \cdot V_1)^\frac{1}{\gamma}\).
Для того, чтобы определить изменение внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\), мы можем использовать первый закон термодинамики, который гласит, что изменение внутренней энергии системы равно сумме работы \(A_{1-2-3}\), совершенной над системой, и теплообмену \(Q_{1-2-3}\) с окружающей средой.
\(\Delta U_{1-2-3} = Q_{1-2-3} - A_{1-2-3}\)
Однако, поскольку процесс адиабатический, то \(Q_{1-2-3} = 0\), так как теплообмена с окружающей средой не происходит. Поэтому уравнение может быть упрощено:
\(\Delta U_{1-2-3} = - A_{1-2-3}\)
Таким образом, изменение внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\) равно работе газа \(A_{1-2-3}\) за весь процесс.
Чтобы определить работу \(A_{1-2-3}\), мы можем использовать следующую формулу:
\(A = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV\)
Где \(dV\) - малое изменение объема, а \(P\) - давление в данном состоянии газа.
Вычислять интеграл в данной задаче сложно, так как давление меняется с изменением объема и нужно использовать уравнение состояния газа. Однако мы можем приближенно рассчитать работу путем разделения процесса на две части: адиабатическое расширение и изохорное нагревание.
Для части адиабатического расширения (1-2) мы можем использовать уравнение адиабатического процесса:
\(PV^\gamma = \text{const}\)
Интегрируя это уравнение от \(P_1\) до \(P_2\) и от \(V_1\) до \(V_2\), мы получим:
\(A_{1-2} = \frac{P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_1}{\gamma - 1}\)
Теперь для части изохорного нагревания (2-3) объем газа остается постоянным, поэтому работа равна нулю: \(A_{2-3} = 0\).
Таким образом, работа газа за весь процесс \(A_{1-2-3}\) будет равна работе в части адиабатического расширения:
\(A_{1-2-3} = A_{1-2} = \frac{P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_1}{\gamma - 1}\)
Чтобы построить график процесса в координатах P - V, мы рисуем систему координат с осями P и V. На оси P отмечаем значения \(P_1\) и \(P_2\), а на оси V отмечаем значения \(V_1\) и \(V_2\).
Таким образом, построение графика процесса в координатах P - V и определение приращения внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\) и работы газа \(A_{1-2-3}\) за весь процесс завершено.
Адиабатический процесс означает, что внешним тепловым потоком системы не обменивается. В данном случае, при адиабатическом расширении, нет теплообмена с окружающей средой.
Мы имеем начальное давление \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\) и конечное давление \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\). Чтобы узнать, как изменится объем газа, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре объем газа обратно пропорционален его давлению.
\[(P_1 \cdot V_1) = (P_2 \cdot V_2)\]
Где \(V_1\) - начальный объем газа, а \(V_2\) - конечный объем газа.
Мы знаем начальное давление \(P_1\) и конечное давление \(P_2\). Также известно, что при адиабатическом процессе отношение давления к объему газа остается постоянным.
\[\frac{{P_1 \cdot V_1^\gamma}}{{T_1}} = \frac{{P_2 \cdot V_2^\gamma}}{{T_2}}\]
Где \(\gamma\) - показатель адиабаты, и для моноатомного газа, такого как азот, значение \(\gamma\) составляет около 5/3.
Теперь мы знаем начальное давление \(P_1\), конечное давление \(P_2\) и показатель адиабаты \(\gamma\). Остается только найти отношение объемов газа \(V_2/V_1\) при адиабатическом расширении.
\[\frac{{P_1 \cdot V_1^\gamma}}{{T_1}} = \frac{{P_2 \cdot V_2^\gamma}}{{T_2}}\]
Мы знаем, что \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(T_1 = 420 \, \text{K}\), и \(\gamma = 5/3\). Теперь мы можем решить уравнение относительно \(V_2/V_1\):
\[\frac{{2 \times 10^{5} \cdot V_1^\gamma}}{{420}} = \frac{{1 \times 10^{5} \cdot V_2^\gamma}}{{420}}\]
\[\frac{{2 \cdot V_1^\gamma}}{{420}} = \frac{{V_2^\gamma}}{{420}}\]
Упрощая уравнение, получим:
\[2 \cdot V_1^\gamma = V_2^\gamma\]
Теперь извлечем корень гамма-ой степени:
\[V_2 = (2 \cdot V_1)^\frac{1}{\gamma}\]
Таким образом, объем газа увеличится в \((2 \cdot V_1)^\frac{1}{\gamma}\) раз при адиабатическом расширении.
Теперь перейдем ко второй части задачи, где азот нагревается до первоначальной температуры \(T_1 = 420 \, \text{K}\) при постоянном объеме.
Поскольку процесс происходит при постоянном объеме, мы можем использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что при постоянном объеме давление газа прямо пропорционально его температуре.
\[\frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}}\]
Где \(P_1\) и \(T_1\) - начальное давление и температура, \(P_2\) и \(T_2\) - конечное давление и температура.
Мы знаем начальное давление \(P_1\), конечное давление \(P_2\) и начальную температуру \(T_1\). Чтобы найти конечную температуру \(T_2\), оставим уравнение относительно \(T_2\):
\[\frac{{P_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2}}{{T_2}}\]
\[T_2 = \frac{{P_2 \cdot T_1}}{{P_1}}\]
Подставим значения: \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\), \(T_1 = 420 \, \text{K}\):
\[T_2 = \frac{{1 \times 10^5 \cdot 420}}{{2 \times 10^5}}\]
\[T_2 = 210 \, \text{K}\]
Таким образом, конечная температура \(T_2\) после нагревания азота до первоначальной температуры при постоянном объеме составит 210 К.
Теперь перейдем к третьей части задачи, где нам нужно построить график процесса в координатах P - V и определить приращение внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\) и работу газа \(A_{1-2-3}\) за весь процесс.
Для построения графика процесса в координатах P - V нам нужно знать значения давления и объема газа в различных состояниях процесса.
Исходя из данных в задаче, мы имеем начальные значения \(P_1 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\) и \(V_1\), а также конечные значения \(P_2 = 1 \times 10^5 \, \text{Па}\) и \(V_2 = (2 \cdot V_1)^\frac{1}{\gamma}\).
Для того, чтобы определить изменение внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\), мы можем использовать первый закон термодинамики, который гласит, что изменение внутренней энергии системы равно сумме работы \(A_{1-2-3}\), совершенной над системой, и теплообмену \(Q_{1-2-3}\) с окружающей средой.
\(\Delta U_{1-2-3} = Q_{1-2-3} - A_{1-2-3}\)
Однако, поскольку процесс адиабатический, то \(Q_{1-2-3} = 0\), так как теплообмена с окружающей средой не происходит. Поэтому уравнение может быть упрощено:
\(\Delta U_{1-2-3} = - A_{1-2-3}\)
Таким образом, изменение внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\) равно работе газа \(A_{1-2-3}\) за весь процесс.
Чтобы определить работу \(A_{1-2-3}\), мы можем использовать следующую формулу:
\(A = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV\)
Где \(dV\) - малое изменение объема, а \(P\) - давление в данном состоянии газа.
Вычислять интеграл в данной задаче сложно, так как давление меняется с изменением объема и нужно использовать уравнение состояния газа. Однако мы можем приближенно рассчитать работу путем разделения процесса на две части: адиабатическое расширение и изохорное нагревание.
Для части адиабатического расширения (1-2) мы можем использовать уравнение адиабатического процесса:
\(PV^\gamma = \text{const}\)
Интегрируя это уравнение от \(P_1\) до \(P_2\) и от \(V_1\) до \(V_2\), мы получим:
\(A_{1-2} = \frac{P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_1}{\gamma - 1}\)
Теперь для части изохорного нагревания (2-3) объем газа остается постоянным, поэтому работа равна нулю: \(A_{2-3} = 0\).
Таким образом, работа газа за весь процесс \(A_{1-2-3}\) будет равна работе в части адиабатического расширения:
\(A_{1-2-3} = A_{1-2} = \frac{P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_1}{\gamma - 1}\)
Чтобы построить график процесса в координатах P - V, мы рисуем систему координат с осями P и V. На оси P отмечаем значения \(P_1\) и \(P_2\), а на оси V отмечаем значения \(V_1\) и \(V_2\).
Таким образом, построение графика процесса в координатах P - V и определение приращения внутренней энергии \(\Delta U_{1-2-3}\) и работы газа \(A_{1-2-3}\) за весь процесс завершено.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
